Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
đặt \(\sqrt{\frac{ab}{c}}=x;\sqrt{\frac{bc}{a}}=y;\sqrt{\frac{ca}{b}}=z\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
\(P=\frac{ab}{ab+c}+\frac{bc}{bc+a}+\frac{ca}{ca+b}\)
\(=\frac{\frac{ab}{c}}{\frac{ab}{c}+1}+\frac{\frac{bc}{a}}{\frac{bc}{a}+1}+\frac{\frac{ca}{b}}{\frac{ca}{b}+1}=\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}+\frac{z^2}{z^2+1}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{3}{4}\left(Q.E.D\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy : \(\frac{\sqrt{\left(a-1\right).1}}{a}+\frac{\sqrt{\left(b-2\right).2}}{\sqrt{2}b}\le\frac{a-1+1}{2a}+\frac{b-2+2}{2\sqrt{2}b}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a-1=1\\b-2=2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=2\\b=4\end{cases}}\)
Vậy max A = \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\Leftrightarrow\left(a;b\right)=\left(2;4\right)\)
\(\text{bđt }\Leftrightarrow4\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge3\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(4a^2b^2+4a^2+4b^2+4\right)\left(c^2+1\right)\ge3\left(a+b+c\right)^2\text{ (1)}\)
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số \(a^2;b^2;c^2\), luôn tồn tại 2 số cùng \(\ge\frac{1}{2}\)hoặc cùng \(\le\frac{1}{2}\), giả sử là a và b
\(\Rightarrow\left(2a^2-1\right)\left(2b^2-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow4a^2b^2\ge2\left(a^2+b^2\right)-1\)
\(\Rightarrow VT\text{ (1) }\ge\left[6\left(a^2+b^2\right)+3\right]\left(c^2+1\right)=3\left[2\left(a^2+b^2\right)+1\right]\left(c^2+1\right)\)
\(\ge3\left[\left(a+b\right)^2+1^2\right]\left[1^2+c^2\right]\ge3\left[\left(a+b\right).1+1.c\right]^2=3\left(a+b+c\right)^2\)
(Theo bđt Bunhiacopxki)
Vậy ta có đpcm.
cho tam giác ABC vuong tại A có AB<AC và đường cao AH. gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB , biết AH=4,AM=5.cmr các điểm A,H,M,N,P thuộc cùng một đường tròn
\(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b+c}}=\dfrac{2}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(4+\dfrac{1}{4}\right)\left(a^2+\dfrac{1}{b+c}\right)}\ge\dfrac{2}{\sqrt{17}}\left(2a+\dfrac{1}{2\sqrt{b+c}}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+4b+4c+\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{1}{\sqrt{c+a}}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+4b+4c+\dfrac{9}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}}\right)\)
Mặt khác:
\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{3\left(a+b+b+c+c+a\right)}=\sqrt{6\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+4b+4c+\dfrac{9}{\sqrt{6\left(a+b+c\right)}}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(\dfrac{31}{8}\left(a+b+c\right)+\dfrac{a+b+c}{8}+\dfrac{9}{2\sqrt{6\left(a+b+c\right)}}+\dfrac{9}{2\sqrt{6\left(a+b+c\right)}}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(\dfrac{31}{8}.6+3\sqrt[3]{\dfrac{81\left(a+b+c\right)}{32.6.\left(a+b+c\right)}}\right)=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
\(A=\frac{x-9+25}{\sqrt{x}+3}=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}+3}+\frac{25}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}-3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}\)
\(A=\left(\sqrt{x}+3\right)+\frac{25}{\sqrt{x}+3}-6\ge2.\sqrt{\left(\sqrt{x}+3\right).\frac{25}{\sqrt{x}+3}}-6=4\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\sqrt{x}+3=\frac{25}{\sqrt{x}+3}\) <=> \(\sqrt{x}+3=5\) <=> x = 4
Vậy....
a\ ta có: \(S=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
→\(S+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\)
=\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
mà \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)(dạng khác của bđt co shi)
→\(S+3\ge\left(a+b+c\right)\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2}\)↔\(S\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)
dấu = xảy ra khi a+b=b+c=c+a hay a=b=c=\(\frac{2015}{3}\)
vật GTNN của S=3/2 khi a=b=c=2015/3
b\ ta có: A=a3+b3+ab=(a+b)(a2-ab+b2)+ab mà a+b=1
→A=a2-ab+b2+ab=a2+b2
lại có: \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)(bn tự cm công thức nhé hoặc thay a=1-b vào cũng đc)
do đo \(A\ge\frac{1}{2}\) dấu = xảy ra khi \(\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}}\)
\(M=a^2+\frac{1}{a}=\frac{a^2}{54}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+\frac{53a^2}{54}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2}{54}.\frac{1}{2a}.\frac{1}{2a}}+\frac{53}{54}.3^2=\frac{1}{2}+\frac{53}{6}=\frac{28}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = 3.
\(N=a+\frac{1}{a}=\frac{a}{9}+\frac{1}{a}+\frac{8a}{9}\ge2\sqrt{\frac{a}{9}.\frac{1}{a}}+\frac{8}{9}.3=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = 3.