Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b) Ta có \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}\)(BĐT Schwarz)
\(=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y+z}=\frac{y^2}{z+x}=\frac{z^2}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
a) Có \(P=1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)
\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)(BĐT Bunyakovsky)
\(=\sqrt{3.\left[2\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\right]}\)
\(\le\sqrt{3\left[4+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}=\sqrt{3\left(4+\frac{4}{3}\right)}=4\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2/3
hướng dẫn thôi tự trình bày lại nhé
pt đầu bài \(\Leftrightarrow\)\(4x^2+9y^2+25+12xy+20x+30y=-3x^2+24x+36y+40\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(2x+3y+5\right)^2-12\left(2x+3y+5\right)+36=-3x^2+16\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(2x+3y-1\right)^2=-3x^2+16\le16\)
\(\Leftrightarrow\)\(-4\le2x+3y-1\le4\)\(\Leftrightarrow\)\(2\le2x+3y+5\le10\)
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}S_{min}=2\left(x=0;y=-1\right)\\S_{max}=10\left(x=0;y=\frac{5}{3}\right)\end{cases}}\)
Câu 2-Ta có x^2+y^2=5
(x+y)^2-2xy=5
Đặt x+y=S. xy=P
S^2-2P=5
P=(S^2-5)/2
Ta lại có P=x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=S^3-3SP=S^3-3S(S^2-5)/2
Rùi tự tính
Câu1
Ta có P<=a+a/4+b+a/12+b/3+4c/3 (theo bdt cô sy)
=> P<=4/3(a+b+c)=4/3
Vậy Max p =4/3 khi a=4b=16c
Câu a :
Ta có : \(\sqrt{5+3x}-\sqrt{5-3x}=a\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{5+3x}-\sqrt{5-3x}\right)^2=a^2\)
\(\Leftrightarrow5+3x-2\sqrt{\left(5+3x\right)\left(5-3x\right)}+5-3x=a^2\)
\(\Leftrightarrow10-2\sqrt{25-9x^2}=a^2\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{25-9x^2}=10-a^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{25-9x^2}=\dfrac{10-a^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow25-9x^2=\dfrac{\left(a^2-10\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow9x^2=25-\dfrac{\left(a^2-10\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow3x=\sqrt{\dfrac{50-\left(a^2-10\right)^2}{2}}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{50-\left(a^2-10\right)^2}}{3\sqrt{2}}\)
\(P=\dfrac{3\sqrt{2}.\sqrt{10+2\sqrt{\dfrac{10-a^2}{2}}}}{\sqrt{50-\left(a^2-10\right)^2}}\)
Bạn tự rút gọn nữa nhé :))
Câu b : \(M=\dfrac{2x+y+z-15}{x}+\dfrac{x+2y+z-15}{y}+\dfrac{x+y+2z-24}{z}\)
\(=\dfrac{x-3}{x}+\dfrac{y-3}{y}+\dfrac{z-12}{z}\)
\(=3-3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{4}{z}\right)\le3-3\left[\dfrac{\left(1+1+2\right)^2}{12}\right]=-1\)
a) \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(+\frac{1}{y^2}\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)
\(=2+\left(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\right)+\frac{255}{256x^2y^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwar cho 2 số không âm, ta được:
\(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2y^2}{256x^2y^2}}=\frac{1}{8}\)
C/m được BĐT phụ: \(1=\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow16x^2y^2\le1\Leftrightarrow256x^2y^2\le16\Leftrightarrow\frac{255}{256x^2y^2}\ge\frac{255}{16}\)
\(\Rightarrow M\ge2+\frac{1}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2y^2=\frac{1}{256x^2y^2}\\x-y=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\))
\(\frac{16}{3x+3y+2z}=\frac{16}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)+\left(x+y\right)1}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\)
Tương tự \(\frac{16}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+z}\)
\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{y+z}\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(16\left(\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\right)\le4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=24\)
\(\Rightarrow\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
P/S:Có dùng S-vác ngược dấu ạ.ý tưởng tách mẫu là từ tth_new - Trang của tth_new - Học toán với OnlineMath nha !