Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có a > /b - c/ ; b > /a - c/ ; c> /a - b/
=> a2 > b2 + c2 - 2bc
b2 > a2 + c2 - 2ac
c2 > a2 + b2 - 2ab
Suy ra a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác
\(\Rightarrow a^2=a.a< a\left(b+c\right)=ab+ac\)
TT\(\Rightarrow b^2< ba+bc;c^2< cb+ca\)
Cộng vế theo vế:
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
Hay \(a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca< 0\left(\text{đ}pcm\right)\)
Câu 9.
a) Ta có: \(\left(a-1\right)^2\ge0\)(điều hiển nhiên)
\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2a+1\ge4a\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a\left(đpcm\right)\)
b) Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:
\(a+1\ge2\sqrt{a}\)
\(b+1\ge2\sqrt{b}\)
\(c+1\ge2\sqrt{c}\)
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\sqrt{abc}=8\)(Vì abc = 1)
Câu 10.
a) Ta có: \(-\left(a-b\right)^2\le0\)(điều hiển nhiên)
\(\Leftrightarrow-a^2+2ab-b^2\le0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
b) \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
Có: \(2ab\le a^2+b^2;2bc\le b^2+c^2;2ac\le a^2+c^2\)(BĐT Cauchy)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Vậy \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Có ab + bc + ca = 0
=> 2ab + 2bc + 2ca = 0
Lại có a2 + b2 + c2 = 0 (1)
=> a2 + 2ab + b2 + 2bc + c2 + 2ca = 0
=> (a + b + c)2 = 0
=> a + b + c = 0 (2)
Từ (1) và (2) => a = b = c (đpcm)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=0\\ab+bc+ca=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a^2+2b^2+2c^2=0\\2ab+2bc+2ca=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0;\forall a,b,c\\\left(b-c\right)^2\ge0;\forall a,b,c\\\left(c-a\right)^2\ge0;\forall a,b,c\end{cases}}\)\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0;\forall a,b,c\)
Do đó \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)
Đợi nghĩ ra cách ngắn hơn nhá :))
\(1)\)\(B=x^{15}-8x^{14}+8x^{13}-8x^{12}+...-8x^2+8x-5\)
\(B=-7x^{15}+\left(8x^{15}-8x^{14}\right)+\left(8x^{13}-8x^{12}\right)+...+\left(8x^3-8x^2\right)+\left(8x-8\right)+3\)
\(B=-7x^{15}+8x^{14}\left(x-1\right)+8x^{12}\left(x-1\right)+...+8x^2\left(x-1\right)+8\left(x-1\right)+3\)
\(B=-7x^{15}+8\left(x-1\right)\left(x^{14}+x^{12}+...+x^2+1\right)+3\)
\(B=-7x^{15}+8\left(x-1\right)\left[x^{12}\left(x^2+1\right)+x^8\left(x^2+1\right)+...+\left(x^2+1\right)\right]+3\)
\(B=-7x^{15}+8\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)\left(x^{12}+x^8+...+1\right)+3\)
\(B=-7x^{15}+8\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)\left[x^8\left(x^4+1\right)+\left(x^4+1\right)\right]+3\)
\(x=7\)\(\Rightarrow\)\(x+1=8\)
\(B=-7x^{15}+\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)\left(x^4+1\right)\left(x^8+1\right)+3\)
\(B=-7x^{15}+\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)\left(x^4+1\right)\left(x^8+1\right)\)
\(B=-7x^{15}+\left(x^4-1\right)\left(x^4+1\right)\left(x^8+1\right)\)
\(B=-7x^{15}+\left(x^8-1\right)\left(x^8+1\right)=-7x^{15}+x^{16}-1=x^{15}\left(x-7\right)-1=-1\)
...
Bài 1:
ta có: x=7 => x+ 1 =8
thay vào biểu thức B
\(\Rightarrow B=x^{15}-\left(x+1\right)x^{14}+\left(x+1\right)x^{13}-\left(x+1\right)x^{12}+...-\left(x+1\right)x^2+\left(x+1\right)x-5\) \(B=x^{15}-x^{15}-x^{14}+x^{14}+x^{13}-x^{13}-x^{12}+...-x^3-x^2+x^2+x-5\)
\(B=x-5\)
\(B=7-5\)
\(B=2\)
Bài 2:
bn tham khảo link dưới nha:
https://olm.vn/hoi-dap/question/982834.html
Bài 3: Bn xem lại giúp mk nha!!! ( Chỗ nếu: thì....)
\(B=x^{15}-8x^{14}+8x^{13}-8x^{12}+...+8x-5\)
\(=x^{15}-\left(x+1\right)x^{14}+\left(x+1\right)x^{13}-\left(x+1\right)x^{12}+...+\left(x+1\right)x-x+2\)
\(=x^{15}-x^{15}-x^{14}+x^{14}+x^{13}-x^{13}-x^{12}+...+x^2+x-x+2\)
\(=2\)
Bài 1 : Thay 8 = x + 1 vào B
=> B = x15 - ( x + 1 ) x14 + ( x + 1 ) x13 - ( x + 1 ) x12 ......+ ( x + 1 ) x - 5
= x15 - x15 - x14 + x14 + x13 - x13 ...... - x2 + x2 + x - 5
= x - 5
Mà x = 7
=> B = 7 - 5 = 2
Vậy B = 1
2 ) Gọi ba số cần tìm là a; a+1; a+2
Vì tích hai số đầu nhỏ hơn tích hai số sau là 50
=> a ( a + 1 ) = ( a + 1 ) ( a + 2 ) - 50
=> a2 + a = a2 + 3a + 2 - 50
=> a = 3a - 48
=> 2a = 48
=> a = 24
Vậy 3 số phải tìm là 24; 25; 26
Bài 3 đề bài chưa rõ nếu cái gì ? Bạn sửa lại đi, mình sẽ giải
Vì a,b,c là 3 cạnh tam giác nên \(a+b>c\Leftrightarrow ac+bc>c^2\)
CMTT: \(ab+bc>b^2;ab+ac>a^2\)
Cộng vế theo vế \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< ab+bc+ca+ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< 2ab+2bc+2ca\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca< 0\)