Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét tứ giác AIHK có \(\widehat{AIH}+\widehat{IAK}+\widehat{AKH}=270^o\Rightarrow\widehat{IHK}=90^o\)
Vậy nên \(HI\perp HK\)
b) Do IA và HK cùng vuông góc với AC nên IA // HK
Vậy thì \(\widehat{IAH}=\widehat{KHA}\) (So le trong)
Xét tam giác IAH và tam giác KHA có:
\(\widehat{AIH}=\widehat{HKA}=90^o\)
Cạnh AH chung
\(\widehat{IAH}=\widehat{KHA}\)
\(\Rightarrow\Delta AIH=\Delta HKA\) (Cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow IA=HK.\)
c) Xét tam giác IAH và tam giác HKI có:
\(\widehat{AIH}=\widehat{KHI}=90^o\)
Cạnh IH chung
\(IA=HK\)
\(\Rightarrow\Delta AIH=\Delta KHI\) (Hai cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow AH=IK.\)
d) Ta thấy ngay các cặp góc so le trong bằng nhau nên \(\Delta IOA=\Delta KOH\left(g-c-g\right)\Rightarrow OI=OK,OA=OH\)
Xét tam giác vuông IAH có IO là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OH = OA = OI.
Vậy nên OA = OI = OH = OK.
e)
1. Nếu tam giác ABC cân thì AH là đường cao đồng thời trung tuyến. Vậy thì AH = BH = CH.
Xét tam giác cân BHA có HI là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến. Vậy nên I là trung điểm AB.
Hoàn toàn tương tự ta có K là trung điểm AC.
2. Tam giác ABC vuông cân tại A nên \(\widehat{ACB}=45^o\)
IA = AB/2; AK = AC/2 mà AB = AC nên AI = AK.
Vậy thì tam giác IAK cũng vuông cân tại A.
Vậy nên \(\widehat{AKI}=45^o\)
Từ đó ta có \(\widehat{AKI}=\widehat{ACB}=45^o\)
Chúng lại ở vị trí đồng vị nên suy ra IK // BC.
f) Ta có AM = MC nên \(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)
Lại có \(\widehat{MCA}=\widehat{AHK}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{KHC}\) )
Suy ra \(\widehat{MAC}=\widehat{AHK}\)
Lại có \(\widehat{OKA}=\widehat{OHA}\)
Vậy nên \(\widehat{MAK}+\widehat{OKA}=\widehat{AHK}+\widehat{IHA}=90^o\)
Gọi J là giao điểm của AM và IK thì \(\widehat{AJK}=90^o\) hay \(KI\perp AM\)
A B C M K I N H
Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ M đến cạnh AB.
N là điểm nằm trên tia đối của IK sao cho IK=IN.
Ta thấy ngay: \(\Delta\)MIK=\(\Delta\)BIN (c.g.c) => MK=BN (2 cạnh tương ứng) (1)
Ta có: ^KCM + ^ACB = 900 ; ^HMB + ^ABC = ^KMC + ^ABC = 900 (Vì \(\Delta\)BHM vuông tại H)
Lại có: ^ABC=^ACB => ^KCM = ^KMC => \(\Delta\)MKC cân đỉnh K => MK=CK (2)
Từ (1) và (2) => CK=BN
Do \(\Delta\)MIK=\(\Delta\)BIN (cmt) => ^IKM=^INB => MK//BN (2 góc so le trg bằng nhau)
Mà MK vuông góc AB tại H => BN vuông góc AB hay ^ABN=900
Xét \(\Delta\)ACK và \(\Delta\)ABN: AC=AB; ^ACK=^ABN=900; CK=BN (cmt)
=> \(\Delta\)ACK=\(\Delta\)ABN (c.g.c) => AK=AN (2 cạnh tương ứng)
=> \(\Delta\)NAK cân đỉnh A. Mà I là trung điểm NK
=> AI là đường cao \(\Delta\)NAK. Hay AI vuông góc IK (đpcm).
a ) Do \(AH\perp BC\Rightarrow\)AH là đường cao của \(\Delta ABC\) cân tại A .Hay AH cũng là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) cân tại A .
\(\Rightarrow BH=HC\)
Xét \(\Delta BMH\) và \(\Delta CNH\) có : \(\widehat{BMH}=\widehat{CNH}=90^0\left(gt\right);BH=HC\left(cmt\right);\widehat{B}=\widehat{C}\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta BMH\) = \(\Delta CNH\) (CH - GN) => BM = CN
Kết hợp với AB = AC => AM = AN hay \(\Delta AMN\) Cân tại A
b) \(\Delta AMN\) Cân tại A (cmt) \(\Rightarrow\widehat{BAC}=\frac{180^0-\widehat{AMN}}{2}\)(1)
\(\Delta ABC\) Cân tại A (gt) \(\Rightarrow\widehat{BAC}=\frac{180^0-\widehat{ABC}}{2}\)(2)
Từ (1);(2) \(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\) Lại ở vị trí trong cùng phía \(\Rightarrow MN\\ \)BC
c) Áp dụng định lý Pytagore và 2 tam giác vuông\(BMH\) Và \(ANH\) ta có :
\(AH^2=AN^2+HN^2\)
\(BH^2=BM^2+MH^2\Rightarrow BM^2=BH^2-MH^2\)
\(\Rightarrow AH^2+BM^2=AN^2+HN^2+BH^2-MH^2=\left(AN^2+BH^2\right)+\left(HN^2-MH^2\right)\)
\(=AN^2+BH^2\)(đpcm)
Tam giác(TG) ABC cân tại A có đường cao AH => AH đồng thời là trung tuyến => BH=HC
TG ABC cân => Góc ABC = góc ACB (2goc đáy)
TG MBH = TG NCH (cạnh huyền-góc nhọn) => MB = NC (2ctu)
mà AB = AC (vì TG ABC cân) và AM + BM = AB , AN + NC = AC
=> AM = AN
=> TG AMN cân
b) AM = BM (CMT) và AN = NC (CMT) => MN là ddg TB của TG=> MN//BC