Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Băng Băng 2k6, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Việt Lâm, HISINOMA KINIMADO, Akai Haruma, Inosuke Hashibira,
Nguyễn Thị Ngọc Thơ, @tth_new
help me! cần gấp lắm ạ!
thanks nhiều!
\(VT=\frac{a^4}{a^3b}+\frac{b^4}{b^3c}+\frac{c^4}{c^3a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3b+b^3c+c^3a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}=3\)
\(VP=\frac{9}{a+b+c}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a+b+c}\le a+b+c\le3\) ( \(3=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\) )
\(\Rightarrow\)\(VT\ge VP\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng phân thức là có ngay mà?
\(\frac{a^2}{b+3c}+\frac{b^2}{c+3a}+\frac{c^2}{a+3b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{4}\)
AD bđt AM-GM ta có
\(\frac{b+c}{a^2}+\frac{4}{b+c}\ge2\sqrt{\frac{b+c}{a^2}\frac{4}{b+c}}=\frac{4}{a}\) (1)
Tương tự có: \(\frac{c+a}{b^2}+\frac{4}{c+a}\ge\frac{4}{b}\) (2)
\(\frac{a+b}{c^2}+\frac{4}{a+b}\ge\frac{4}{c}\) (3)
Cộng theo vế các bđt (1), (2), (3) ta được:
\(\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}+\frac{a+b}{c^2}+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\) (4)
Lại có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{a}\frac{1}{b}}=\frac{4}{2\sqrt{ab}}\ge\frac{4}{a+b}\) (5)
Tương tự: \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c}\) (6)
\(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\) (7)
Cộng theo vế các bđt (4),(5),(6),(7) ta được:
\(\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}+\frac{a+b}{c^2}+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)
\(\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\)
=> đpcm