Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A C B O I M N H K P O' G
a) Do I thuộc đường tròn (O), AC là đường kính nên \(\widehat{AIC}=90^o\)
Xét tam giác vuông ABC, đường cao AI, ta có:
\(BI.CI=AI^2\)
b) Ta thấy O là trung điểm AC,OM // AI (Cùng vuông góc với BC) nên OM là đường trung bình tam giác AIC.
\(\Rightarrow IM=MC\)
Xét tam giác AIM và tam giác CNM có:
\(\widehat{IMA}=\widehat{NMC}\) (Hai góc đối đỉnh)
\(\widehat{AIM}=\widehat{CNM}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
\(\Rightarrow\Delta AIM\sim\Delta CNM\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AM}{CM}=\frac{IM}{MN}\)
\(\Rightarrow\frac{AM}{CM}=\frac{CM}{MN}\Rightarrow AM.MN=CM^2\)
c) Xét tam giác vuông IAB có PA = PI (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
nên \(\widehat{PAI}=\widehat{PIA}\Rightarrow\widehat{PBI}=\widehat{PIB}\Rightarrow PI=PB\)
Suy ra PA = PB hay P là trung điểm AB.
Gọi P' là giao điểm của CK với AB.
Dễ thấy IH // AB nên áp dụng định lý Talet ta có:
\(\frac{IK}{BP'}=\frac{KC}{CP'}=\frac{KH}{AP'}\)
Mà IK = KH nên BP' = AP' hay P' là trung điểm của AB. Vậy \(P'\equiv P\)
Suy ra P, K, C thẳng hàng.
d) Gọi G là giao điểm của O'M với AC. Ta chứng minh \(\widehat{O'GC}=90^o\)
Thật vậy : \(\widehat{GMC}=\widehat{O'MI};\widehat{MCG}=\widehat{INM}=\frac{\widehat{IO'M}}{2}\) (Các góc nội tiếp cùng chắn một cung)
\(\Rightarrow\widehat{MCG}+\widehat{GMC}=\frac{\widehat{IO'M}}{2}+\widehat{O'MI}\)
Lại có \(\widehat{O'IM}=\widehat{O'IM}\Rightarrow2\widehat{O'MI}+\widehat{IO'M}=180^o\)
\(\Rightarrow\frac{\widehat{IO'M}}{2}+\widehat{O'MI}=90^o\Rightarrow\widehat{CMG}+\widehat{GCM}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{O'IM}+\widehat{MIO}=\widehat{GMC}+\widehat{OCM}=90^o\)
Suy ra OI là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN.
a: Xét (O) có
ΔAIC nội tiếp
AC là đường kính
Do đó: ΔAIC vuông tại I
Xét ΔABC vuông tại A có AI là đường cao
nên \(AI^2=BI\cdot CI\)
Bài 2:
ΔOBC cân tại O
mà OK là trung tuyến
nên OK vuông góc BC
Xét tứ giác CIOK có
góc CIO+góc CKO=180 độ
=>CIOK là tứ giác nội tiếp
Bài 3:
Xét tứ giác EAOM có
góc EAO+góc EMO=180 độ
=>EAOM làtứ giác nội tiếp
1: Xét (O) có
ΔAIC nội tiếp
AC là đường kính
Do đó: ΔAIC vuông tại I
Xét ΔABC vuông tại A có AI là đường cao
nên AI^2=BI*CI
2: Xét (O) có
ΔCNA nội tiếp
CA là đườngkính
Do đó; ΔCNA vuông tại N
Xét ΔAIM vuông tại I và ΔCNM vuông tại N có
góc AMI=góc CMN
DO đó: ΔAIM đồng dạng với ΔCNM
=>MI/MN=MA/MC
=>MI*MC=MN*MA=CM^2