Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
\(a^2+b^2+c^2+d^2+m^2-a(b+c+d+m)\)
\(=\frac{4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4m^2-4a(b+c+d+m)}{4}\)
\(=\frac{(a^2+4b^2-4ab)+(a^2+4c^2-4ac)+(a^2+4d^2-4ad)+(a^2+4m^2-4am)}{4}\)
\(=\frac{(a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+(a-2m)^2}{4}\geq 0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=2b=2c=2d=2m\)
b)
Xét hiệu
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{x+y}{xy}-\frac{4}{x+y}=\frac{(x+y)^2-4xy}{xy(x+y)}\)
\(=\frac{x^2+y^2-2xy}{xy(x+y)}=\frac{(x-y)^2}{xy(x+y)}\geq 0, \forall x,y>0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
c)
Xét hiệu:
\((a^2+c^2)(b^2+d^2)-(ab+cd)^2\)
\(=(a^2b^2+a^2d^2+c^2b^2+c^2d^2)-(a^2b^2+2abcd+c^2d^2)\)
\(=a^2d^2-2abcd+b^2c^2=(ad-bc)^2\geq 0\)
\(\Rightarrow (a^2+c^2)(b^2+d^2)\geq (ab+cd)^2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(ad=bc\)
d)
Xét hiệu:
\(a^2+b^2-(a+b-\frac{1}{2})=a^2+b^2-a-b+\frac{1}{2}\)
\(=(a^2-a+\frac{1}{4})+(b^2-b+\frac{1}{4})\)
\(=(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2\geq 0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\geq a+b-\frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Bài 2:
Đặt \(a=3+x\)và \(b=3+y\)thì \(x,y\ge0\). Ta có : \(a+b=6+\left(x+y\right)\).
Ta cần chứng minh \(x+y\ge1\)
Ví dụ \(x+y< 1\)thì \(x^2+2xy+y^2< 1\)nên \(x^2+y^2< 1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2=\left(x+3\right)^2+\left(y+3\right)^2=18+6\left(x+y\right)+\left(x^2+y^2\right)< 18+6+1=25\)
Điều này ngược với giả thiết ở đề bài \(ầ^2+b^2\ge25\)
Vậy \(x+y\ge1\)\(\Leftrightarrow a+b\ge7\left(dpcm\right)\)
tk mk nka !!!
Câu 4 :
Ta có : a+b+c=0
=> a+b=-c
Lại có : a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)
=> a3+b3+c3=(a+b)3-3ab(a+b)+c3
=-c3-3ab. (-c)+c3
=3abc
Vậy a3+b3+c3=3abc với a+b+c=0
a) B = x2 + 4y2 - 5x + 10y - 4xy + 17
= ( x2 - 4xy + 4y2 ) - ( 5x - 10y ) + 17
= ( x - 2y )2 - 5( x - 2y ) + 17
= 52 - 5.5 + 17
= 17
b) C = 2( a3 + b3 ) - 3( a2 + b2 )
= 2( a + b )( a2 - ab + b2 ) - 3( a2 + b2 )
= 2( a2 - ab + b2 ) - 3a2 - 3b2 ( gt a + b = 1 )
= 2a2 - 2ab + 2b2 - 3a2 - 3b2
= -a2 - 2ab - b2
= -( a2 + 2ab + b2 )
= -( a + b )2
= -1
c) a + b + c + d = 0
<=> a + b = -( c + d )
<=> ( a + b )3 = -( c + d )3
<=> a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = -( c3 + 3c2d + 3cd2 + d3 )
<=> a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = -c3 - 3c2d - 3cd2 - d3
<=> a3 + b3 + c3 + d3 = -3c2d - 3cd2 - 3a2b - 3ab2
<=> a3 + b3 + c3 + d3 = -3cd( c + d ) - 3ab( a + b )
<=> a3 + b3 + c3 + d3 = 3ab( c + d ) - 3cd( c + d ) < Do ( a + b ) = -( c + d ) >
<=> a3 + b3 + c3 + d3 = 3( ab - cd )( c + d )
<=> a3 + b3 + c3 + d3 - 3( ab - cd )( c + d ) = 0
\(VT=\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{2}.\left(a+b+c\right)\)
\(VT=\frac{a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2}{2}.\left(a+b+c\right)\)
\(VT=\frac{2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca}{2}.\left(a+b+c\right)\)
\(VT=\frac{2.\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{2}.\left(a+b+c\right)\)
\(VT=\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right).\left(a+b+c\right)\)
\(VT=a^3+b^3+c^3-3abc=VP\left(đpcm\right)\)
