Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
*Tìm min:
\(P=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{1}{1-a}-1+\dfrac{1}{1-b}-1\)
\(\ge\dfrac{4}{\left(1-a\right)+\left(1-b\right)}-2\)
\(=\dfrac{4}{2-\dfrac{1}{2}}-2=\dfrac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{4}\). Do đó minP=2/3
*Tìm max: \(a,b\ge0\)
\(P=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{a-ab+b-ab}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2ab}{1-\left(a+b\right)+ab}=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2ab}{\dfrac{1}{2}+ab}=\dfrac{\dfrac{3}{2}-2\left(\dfrac{1}{2}+ab\right)}{\dfrac{1}{2}+ab}\)
\(=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}+ab}-2\le\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}}-2=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(0;\dfrac{1}{2}\right),\left(\dfrac{1}{2};0\right)\)
Vậy maxP=1
Với mọi a , b , c \(\in\)R ta luôn có :
\(a^2\)+ \(b^2\)+ \(c^2\)> hoặc = \(2bc+2ca-2ab\left(1\right)\)
Ta cần chứng minh ( 1 ) là bất đẳng thức đúng
\(\Leftrightarrow\)\(a^2\)+ \(b^2\)+ \(c^2\)+ 2ab - 2bc - 2ca > hoặc = 0
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b-c\right)^2\) > hoặc = 0 ( 2 )
Bất đẳng thức ( 2 ) luôn đúng với mọi a ; b ; c mà các phép biến đổi trên tương ứng
Nên bất đẳng thức ( 1 ) được chứng minh
Xảy ra khi và chỉ khi a + b = c
Mà \(a^2\)+ \(b^2\)+ \(c^2\)= \(\frac{5}{3}\)( gt )
Mà \(\frac{5}{3}\)= \(1\frac{2}{3}\)< 2 ( 3 )
Từ ( 1 ) kết hợp với ( 3 ) ta có thể viết :
2bc + 2ca - 2ab < hoặc = \(a^2\)+ \(b^2\)+ \(c^2\)< 2
\(\Rightarrow\)2bc + 2ca - 2ab < 2
Vì a ; b ; c > 0 nên chia cả 2 vế của bđt cho 2abc
\(\frac{2bc+2ca-2ab}{2abc}< \frac{2}{2abc}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
Vậy với a ; b ; c là các số dương thỏa mãn điều kiện : \(a^2\)+ \(b^2\)+ \(c^2\)= \(\frac{5}{3}\)thì ta luôn chứng minh được :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
Ta có:
\(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\dfrac{1^2}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1^2}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1^2}{c^3\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\dfrac{a^2b^2c^2}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a^2b^2c^2}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{a^2b^2c^2}{c^3\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\dfrac{b^2c^2}{a\left(c+b\right)}+\dfrac{a^2c^2}{b\left(c+a\right)}+\dfrac{a^2b^2}{c\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Svacxo ta có:
\(\dfrac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{a^2c^2}{b\left(c+a\right)}+\dfrac{a^2b^2}{c\left(a+b\right)}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{a\left(b+c\right)+b\left(a+c\right)+c\left(a+b\right)}\) \(\dfrac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{a^2c^2}{b\left(c+a\right)}+\dfrac{a^2b^2}{c\left(a+b\right)}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)}{2}\) (1)
Chứng minh: \(\dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{ab.bc.ca}\)
\(ab+bc+ca\ge3\) (2)
Từ (1) và (2)
=> ĐPCM
\(A+\dfrac{1}{4}\left(a+b+c\right)+\dfrac{3}{4}=\left(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{1}{4}\left(b+1\right)\right)+\left(\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{1}{4}\left(c+1\right)\right)+\left(\dfrac{c^2}{a+1}+\left(a+1\right)\right)\)\(A+\dfrac{3}{2}\ge a+b+c=3\Rightarrow A\ge\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
Ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=2\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2.\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}+2.\dfrac{1}{b}.\dfrac{1}{c}+2.\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{c}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2c}{abc}+\dfrac{2a}{abc}+\dfrac{2b}{abc}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{abc}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2abc}{abc}=4\left(a+b+c=abc\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=2\)
Vậy \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=2\)
:D