Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi I là trung điểm của BC => BI=IC=1/2 BC (1)
Vì tam giác FBC vuông tại F; FI là đường trung trực của BC =>FI = 1/2 BC (2)
Tương tự => EI = 1/2 BC (3)
Từ (1), (2) và (3) =>EI = BI = IC = FI = 1/2 BC
=>E, B, C, F thuộc một đường tròn
Dãy số có 2 chữ số chia hết cho 3 là:[12,15,....,99]
Khoảng cách của từng số hạng là 3
Số số hạng là: (99-12):3+1=30(số)
Vậy có 30 số có 2 chữ số chia hết cho 3
A B O C D E M H K
a)Ta có: EA \(\perp\)AB (t/c tiếp tuyến) => \(\widehat{OAE}=90^0\)
OD \(\perp\)EC (t/c tiếp tuyến) => \(\widehat{ODE}=90^0\)
Xét t/giác AODE có \(\widehat{OAE}+\widehat{ODE}=90^0+90^0=180^0\)
=> t/giác AODE nt đường tròn (vì tổng 2 góc đối diện = 1800)
b) Xét \(\Delta\)EKD và \(\Delta\)EDB
có: \(\widehat{BED}\):chung
\(\widehat{EDK}=\widehat{EBK}=\frac{1}{2}sđ\widebat{KD}\)
=> \(\Delta\)EKD ∽ \(\Delta\)EDB (g.g)
=> \(\frac{ED}{EB}=\frac{EK}{ED}\)=> ED2 = EK.EB (1)
Ta có: AE = ED (t/c 2 tt cắt nhau) => E thuộc đường trung trực của AD
OA = OD = R => O thuộc đường trung trực của AD
=> EO là đường trung trực của ED => OE \(\perp\)AD
Xét \(\Delta\)EDO vuông tại D có DH là đường cao => ED2 = EK.EB (2)
Từ (1) và (2) => EH.EO = DK.EB => \(\frac{EH}{EB}=\frac{EK}{EO}\)
Xét tam giác EHK và tam giác EBO
có: \(\widehat{OEB}\): chung
\(\frac{EH}{EB}=\frac{EK}{EO}\)(cmt)
=> tam giác EHK ∽ tam giác EBO (c.g.c)
=> \(\widehat{EHK}=\widehat{KBA}\)
c) Ta có: OM // AE (cùng vuông góc với AB) => \(\frac{OM}{AE}=\frac{MC}{EC}\)(hq định lí ta-lét)
=> OM.EC = AE.MC
Ta lại có: \(\frac{EA}{EM}-\frac{MO}{MC}=\frac{EA.MC-MO.EM}{EM.MC}=\frac{MO.EC-MO.EM}{EM.MC}=\frac{OM.MC}{EM.MC}=\frac{OM}{EM}\)
Mặt khác: OM // AE => \(\widehat{MOE}=\widehat{OEA}\)(slt)
mà \(\widehat{AEO}=\widehat{OEM}\)(t/c 2 tt cắt nhau)
=> \(\widehat{MOE}=\widehat{MEO}\) => tam giác OME cân tại M => OM = ME
=> \(\frac{OM}{EM}=1\)
=> \(\frac{EA}{EM}-\frac{OM}{MC}=1\)
A B M P O H I N
c/
1/ Xét \(\Delta PMI\) và \(\Delta PBM\) có
\(\widehat{BPM}\) chung
\(sđ\widehat{IMP}=\frac{1}{2}sđ\) cung MI (Góc giữa tiếp tuyến và dây cung)
\(sđ\widehat{PBM}=\frac{1}{2}sđ\)cung MI (Góc nội tiếp đường tròn)
\(\Rightarrow\widehat{IMP}=\widehat{PBM}\)
\(\Rightarrow\Delta PMI\) đồng dạng \(\Delta PBM\) (g.g.g) \(\Rightarrow\frac{PI}{PM}=\frac{PM}{PB}\Rightarrow PI.PB=PM^2\left(dpcm\right)\)
2/ Ta có
\(AB\perp PO\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ở ngoài đường tròn thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc với đường nối 2 tiếp điểm)
Xét tg vuông PMO
\(PH.PO=PM^2\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu của cạnh đó trên cạnh huyền với cạnh huyền) (đpcm)
3/
Bạn tự vẽ hình.
a, \(xy\) cách \(\left(O\right)\) một khoảng \(OK=a\)
Mà \(OK< R\)
=> \(K\in xy\) và \(xy\) cắt \(\left(O\right)\) tại hai điểm D và E
b, \(OK\perp xy\) đồng thời \(OK\perp AK\) => \(\widehat{AKO}=90^o\) => K thuộc đường tròn đường kính AO (1)
AC, AB là 2 tiếp tuyến => \(\hept{\begin{cases}AC\perp CO\\AB\perp BO\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}\widehat{ACO}=90^o\\\widehat{ABO}=90^o\end{cases}}\)
=> B, C thuộc đường kính BC (2)
(1); (2) => K, B, C thuộc đường kính BC
Hay O, A, B, C, K cùng thuộc đường kính BC
c, \(AK\perp KO\)
=> \(\widehat{AKS}=90^o\)
=> K thuộc đường tròn đường kính AS (3)
=> \(AO\perp BC\) tại M
=> \(\widehat{AMS}=90^o\)
=> M thuộc đường tròn đường kính AS (4)
(3); (4) => AMKS nội tiếp
Bài 1:
b)
chứng minh EDCB là tgnt => góc AED = góc ACB
từ đó, chứng minh tam giác AED đồng dạng ACB (gg)
=> DE / BC = AD / AB
tam giác ADB vuông tại A => AD / AB = cotg A = cotg 45 = 1
c)
kẻ tiếp tuyến tại Ax của (O) (Ax thuộc nửa mp bờ AC chứa B)
góc xAB = ACB = AED
=> DE // Ax
Mà Ax vuông góc với OA nên OA vuông góc với DE. (đpcm)
A B C O E F K I J H M N S T L
c) AT là đường kính của (O), dễ thấy H,K,T thẳng hàng, gọi TH cắt (O) lần nữa tại S, ta được ^ASH = 900
Ta có A,E,H,F,S cùng thuộc đường tròn đường kính AH, suy ra:
(ES,EF) = (AS,AB) = (SC,SB), (SF,SE) = (BS,BC) do đó \(\Delta\)SFE ~ \(\Delta\)SBC
Vì K,L là trung điểm của BC,EF nên \(\Delta\)SFL ~ \(\Delta\)SBK, suy ra \(\Delta\)SFB ~ \(\Delta\)SLK, (KS,KL) = (BS,BA) (1)
Lại có: \(\frac{MF}{MB}=\frac{HF}{HB}=\frac{HE}{HC}=\frac{NE}{NC}\), \(\Delta\)SEC ~ \(\Delta\)SFB, suy ra \(\Delta\)SMN ~ \(\Delta\)SBC
Tương tự như trên, ta thu được (KS,KI) = (BS,BA) (2)
Từ (1);(2) suy ra K,I,L thẳng hàng. Mặt khác K,L,J thẳng hàng vì chúng cách đều E,F.
Do vậy I,J,K thẳng hàng.
Draw your own figure. Now I'll give the solution:
a) Because BD and CE are the heights of the triangle ABC \(\left(D\in AC;E\in AB\right)\), we have \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\)
Consider the quadrilateral BCDE, it has 2 adjacent vertices D, E which both look at the edge BC by a right angle. Thus, BCDE is an inscribed quadrilateral. And that's what we must prove!
b) We can easily have \(\widehat{EBD}=\widehat{ECD}\) due to the inscribed quadrilateral BCDE or \(\widehat{ABD}=\widehat{HCD}\)
Consider the 2 triangles DAB and DHC, which are both right at D, have \(\widehat{ABD}=\widehat{HCD}\). Therefore, \(\Delta DAB~\Delta DHC\left(a.a\right)\). This means \(\dfrac{DA}{DH}=\dfrac{DB}{DC}\) or \(DA.DC=DH.DB\) and again, that's what we must prove!
c) Draw the tangent Ax of (O). We have \(Ax\perp OA\) (at A)
Consider the circle (O), it has \(\widehat{BAx}\) is an angle that is formed by the tangent line Ax and the chord AB. Also, \(\widehat{ACB}\) is the inscribed angle intercept the arc AB. Therefore, \(\widehat{BAx}=\widehat{ACB}\)
On the other hand, \(\widehat{ACB}=\widehat{AED}\) due to the inscribed quadrilateral BCDE. Thus, we must have \(\widehat{BAx}=\widehat{AED}\), which means \(Ax//DE\) (because the 2 staggered angles are equal). We have already prove \(Ax\perp OA\), so, \(OA\perp DE\)
Consider the circle (H), we have \(HE\perp AM\) at E while AM is a chord of (H). Therefore, E is the midpoint of AM.
Similarly, D is the midpoint of AN.
Consider the triangle AMN, it has D, E, consecutively, are the midpoint of AN, AM. Thus, DE must be the average line of the triangle AMN. This means \(DE//MN\)
Guess what? We've already had \(OA\perp DE\), so, \(OA\perp MN\), and that's what we must prove!
d) Sorry, I haven't had the solution for this yet.