Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Tính √25 + √9 rồi so sánh kết quả với .
Trả lời: < √25 + √9.
b) Ta có: = a + b và
=
+ 2√a.√b +
= a + b + 2√a.√b.
Vì a > 0, b > 0 nên √a.√b > 0.
Do đó < √a + √b
a) Tính √25 + √9 rồi so sánh kết quả với .
Trả lời: < √25 + √9.
b) Ta có: = a + b và
=
+ 2√a.√b +
= a + b + 2√a.√b.
Vì a > 0, b > 0 nên √a.√b > 0.
Do đó < √a + √b
a) HD: Thực hiện phép khai căn rồi so sánh kết quả.
Trả lời: > √25 - √16;.
b) HD: Ta có thể chứng minh rằng √a < + √b.
Nhưng điều này suy ra từ kết quả bài tập 26.b) SGK nếu lưu ý rằng
√a = .
a) Ta có:
\(\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\);
\(\sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=1\).
Vì 1 < 3 nên \(\sqrt{25}-\sqrt{16}< \sqrt{25-16}\).
b) Ta có:
\(\sqrt{a}=\sqrt{a-b+b}=\sqrt{(a-b)+b}\)
mà ta đã biết:
\(\sqrt{(a-b)+b}< \sqrt{a-b}+\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}< \sqrt{a-b}+\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\)
Vậy \(\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\).
a) \(\sqrt{36-25}=\sqrt{11}\)
\(\sqrt{36}-\sqrt{25}=6-5=1\)
Suy ra \(\sqrt{36-25}>\sqrt{36}-\sqrt{25}\)
a,\(\sqrt{36-25}=-1\)
\(\sqrt{36}-\sqrt{25}=1\)
Vậy: \(\sqrt{36-25}< \sqrt{36}-\sqrt{25}\)
b) Ta sẽ chứng minh bằng biến đổi tương đương :)
Ta có : \(\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}< a-b\)
\(\Leftrightarrow2b-2\sqrt{ab}< 0\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{b}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)< 0\) (1)
Vì a>b nên \(b-a< 0\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)< 0\Leftrightarrow\sqrt{b}-\sqrt{a}< 0\) (vì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\))
Lại có \(\sqrt{b}>0\) \(\Rightarrow2\sqrt{b}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)< 0\) đúng.
Vì bđt cuối đúng nên bđt ban đầu được chứng minh
\(\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\)
\(\sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=1\)
\(\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}\)
\(1.\) Gỉa sử : \(\sqrt{25-16}< \sqrt{25}-\sqrt{16}\)
\(\Leftrightarrow3< 1\) ( Vô lý )
\(\Rightarrow\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}\)
\(2.\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2< a-b\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b< a-b\)
\(\Leftrightarrow2b-2\sqrt{ab}< 0\)
\(\Leftrightarrow2\left(b-\sqrt{ab}\right)< 0\)
Ta có :\(a>b\Leftrightarrow ab>b^2\Leftrightarrow\sqrt{ab}>b\)
\(\RightarrowĐpcm.\)
\(2a.\) Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\left(a;b\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(b.\) Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\left(x,y>0\right)\left(1\right)\)
\(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{2}{\sqrt{yz}}\left(y,z>0\right)\left(2\right)\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xz}}\left(x,z>0\right)\left(3\right)\)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3 ) , ta được :
\(2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\)
\(3a.\sqrt{x-4}=a\left(a\in R\right)\left(x\ge4;a\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow x-4=a^2\)
\(\Leftrightarrow x=a^2+4\left(TM\right)\)
\(3b.\sqrt{x+4}=x+2\left(x\ge-2\right)\)
\(\Leftrightarrow x+4=x^2+4x+4\)
\(\Leftrightarrow x^2+3x=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(TM\right)\\x=-3\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)
KL....
a) Ta có:
+)√25+9=√34+)25+9=34.
+)√25+√9=√52+√32=5+3+)25+9=52+32=5+3
=8=√82=√64=8=82=64.
Vì 34<6434<64 nên √34<√6434<64
Vậy √25+9<√25+√925+9<25+9
b) Với a>0,b>0a>0,b>0, ta có
+)(√a+b)2=a+b+)(a+b)2=a+b.
+)(√a+√b)2=(√a)2+2√a.√b+(√b)2+)(a+b)2=(a)2+2a.b+(b)2
=a+2√ab+b=a+2ab+b
=(a+b)+2√ab=(a+b)+2ab.
Vì a>0, b>0a>0, b>0 nên √ab>0⇔2√ab>0ab>0⇔2ab>0
⇔(a+b)+2√ab>a+b⇔(a+b)+2ab>a+b
⇔(√a+√b)2>(√a+b)2⇔(a+b)2>(a+b)2
⇔√a+√b>√a+b⇔a+b>a+b (đpcm)
a, Ta có : \(\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\)
\(\sqrt{25}+\sqrt{9}=5+3=8=\sqrt{64}\)
mà 34 < 64 hay \(\sqrt{25+9}< \sqrt{25}+\sqrt{9}\)
b, \(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)
bình phương 2 vế ta được : \(a+b< a+2\sqrt{ab}+b\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}>0\)vì \(a;b>0\)nên đẳng thức này luôn đúng )
Vậy ta có đpcm
1) Vì \(a,b>0\)\(\Rightarrow\)\(\sqrt{ab}>0\)
\(\Leftrightarrow\)\(2\sqrt{ab}>0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a+b+2\sqrt{ab}>a+b\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2>a+b\)
\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\)
Vậy \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\)
1. Ta có: \(\left(\sqrt{a+b}\right)^2=a+b\)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+2\sqrt{ab}+b\)
Vì \(a>0\), \(b>0\)\(\Rightarrow\sqrt{ab}>0\)\(\Rightarrow2\sqrt{ab}>0\)
\(\Rightarrow a+b< a+2\sqrt{ab}+b\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+b}\right)^2< \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)
mà \(\hept{\begin{cases}\sqrt{a+b}>0\\\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)( đpcm )
\(\sqrt{a+b}^2=a+b\)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+2\sqrt{ab}+b>a+b\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}^2< \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\Rightarrow\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)
=>đpcm