Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+2m\sqrt{x\left(1-x\right)}-2\sqrt[4]{x\left(1-x\right)}=m^3\)
1/ \(x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=x+\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{4}}\)
\(=x+\sqrt{\left(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right)^2}=x+\left|\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right|=\left(x+\frac{1}{4}\right)+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{4}\)
\(=\left(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow m=\left(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right)^2\)
Để pt trên có nghiệm thì \(\hept{\begin{cases}m>0\\\sqrt{m}-\frac{1}{2}\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>0\\m\ge\frac{1}{4}\end{cases}}\Leftrightarrow m\ge\frac{1}{4}\)
Vậy với \(m\ge\frac{1}{4}\) thì pt trên có nghiệm.
Phương trình trên chỉ có một nghiệm thôi nhé, đó là \(x=m-\sqrt{m}\) với \(m\ge\frac{1}{4}\)
2)\(x^2\sqrt[4]{2-x^4}=x^4-x^3+1\)
\(pt\Leftrightarrow x^2\sqrt[4]{2-x^4}-1=x^4-x^3\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^8\left(2-x^4\right)-1}{\sqrt[4]{\left(x^2\sqrt[4]{2-x^2}\right)^3}+\sqrt[4]{\left(x^2\sqrt[4]{2-x^2}\right)^2}+\sqrt[4]{x^2\sqrt[4]{2-x^2}}+1}=x^4-x^3\)
\(\Leftrightarrow\frac{-\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\left(x^8-x^4-1\right)}{\sqrt[4]{\left(x^2\sqrt[4]{2-x^2}\right)^3}+\sqrt[4]{\left(x^2\sqrt[4]{2-x^2}\right)^2}+\sqrt[4]{x^2\sqrt[4]{2-x^2}}+1}-x^3\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\frac{-\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\left(x^8-x^4-1\right)}{\sqrt[4]{\left(x^2\sqrt[4]{2-x^2}\right)^3}+\sqrt[4]{\left(x^2\sqrt[4]{2-x^2}\right)^2}+\sqrt[4]{x^2\sqrt[4]{2-x^2}}+1}-x^3\right)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\)
Câu a. Giả sử có m thỏa mãn đề bài, khi đó sẽ có số \(a\ge0\)để \(\sqrt{1-x^2}=a\)hay \(1-x^2=a^2\)
Suy ra: \(x^2=1-a^2\).
Nếu a > 1 thì không có x thỏa mãn.
Nếu a = 1 thì x = 0 ( duy nhất).
Nếu \(0\le a< 1\)thì \(x=\sqrt{1-a^2}\)hoặc \(x=-\sqrt{1-a^2}\). Rõ ràng hai giá trị này là phân biệt.
Vậy chỉ khi a = 1 thì x = 0 duy nhất. Khi đó m = 3 .
Ngược lại thay m = 3 vào phương trình ta có: \(\sqrt{1-x^2}+2\sqrt[3]{1-x^2}=3.\)
Đặt \(1-x^2=a^6\), thay vào phương trình ban đầu ta có:
\(a^3+2a^2=3\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2-a+3\right)=0\)
Vậy a = 1 hay \(1-x^2=1\)suy ra x = 0 là nghiệm duy nhất.
Câu b ta đặt: \(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=a\)sau đó bình phương hai vế lên ta được 1 phương trình bậc hai theo tham số a.
Dùng điều kiện \(\Delta=0\)ta sẽ tìm được a.