Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y\ge1\\x+2y\ge2\\x+4y\ge0\end{matrix}\right.\)
\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{\left(2x+y-1\right)-\left(x+2y-2\right)}{\sqrt{2x+y-1}+\sqrt{x+2y-2}}+\left(x-y+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-y+1}{\sqrt{2x+y-1}+\sqrt{x+2y-2}}+\left(x-y+1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2x+y-1}+\sqrt{x+2y-2}}+1\right)=0\)\(\Leftrightarrow x-y+1=0\)
Thế vào pt 2 => x;y
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+y-1}=a\ge0\\\sqrt{x+2y-2}=b\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2-b^2=x-y+1\)
Phương trình thứ nhất trở thành:
\(a-b+a^2-b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(1+a+b\right)=0\Leftrightarrow a=b\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+y-1}=\sqrt{x+2y-2}\Rightarrow y=x+1\)
Thay xuống pt dưới:
\(4x^2-\left(x+1\right)^2+x+4-\sqrt{3x+1}-\sqrt{5x+4}=0\)
\(\Leftrightarrow3x^2-x+3-\sqrt{3x+1}-\sqrt{5x+4}=0\)
\(\Leftrightarrow3x^2-3x+x+1-\sqrt{3x+1}+x+2-\sqrt{5x+4}=0\)
\(\Leftrightarrow3x\left(x-1\right)+\frac{\left(x+1\right)^2-\left(3x+1\right)}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\frac{\left(x+2\right)^2-\left(5x+4\right)}{x+2+\sqrt{5x+4}}=0\)
\(\Leftrightarrow3x\left(x-1\right)+\frac{x\left(x-1\right)}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\frac{x\left(x-1\right)}{x+2+\sqrt{5x+4}}=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)\left(3+\frac{1}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\frac{1}{x+2+\sqrt{5x+4}}\right)=0\)
Bài 1:
\(\Leftrightarrow\left(x^2-6x-7\right)^2-\left(3x^2-12x-9\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(3x^2-12x-9-x^2+6x+7\right)\left(3x^2-12x-9+x^2-6x-7\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^2-6x-2\right)\left(4x^2-18x-16\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-3x-1\right)\left(2x^2-9x-8\right)=0\)
hay \(x\in\left\{\dfrac{3+\sqrt{13}}{2};\dfrac{3-\sqrt{13}}{2};\dfrac{9+\sqrt{145}}{4};\dfrac{9-\sqrt{145}}{4}\right\}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-y}=a\ge0\\\sqrt{y}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
Phương trình đầu trở thành:
\(\left(1-b^2\right)a+a^2+b^2=2+\left(a^2-1\right)b\)
\(\Leftrightarrow a+b+a^2+b^2-a^2b-ab^2-2=0\)
\(\Leftrightarrow a-1+b-1-a^2\left(b-1\right)-b^2\left(a-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-b^2\right)\left(a-1\right)+\left(a^2-1\right)\left(1-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(1-b\right)\left(2+a+b\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y+1\\y=1\end{matrix}\right.\)
Trường hợp \(y=1\) đơn giản bạn tự thay xuống giải
- Với \(x=y+1\)
\(2y^2-3\left(y+1\right)+6y+1-2\sqrt{1-y}+\sqrt{1-y}=0\)
\(\Leftrightarrow2y^2+3y-2-\sqrt{1-y}=0\)
\(\Leftrightarrow2y^2+2y-2+y-\sqrt{1-y}=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(y^2+y-1\right)+\frac{y^2+y-1}{y+\sqrt{1-y}}=0\)
Nhớ nhìn căn thức và loại nghiệm theo ĐKXĐ
Bài 1)
Ta biết ĐKXĐ:
\(\left\{\begin{matrix}4-x^2\ge0\\x^4-16\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}4-x^2\ge0\\\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}4-x^2\ge0\\x^2-4\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow x^2-4=0\rightarrow x=\pm2\)
Mặt khác \(4x+1\geq 0\Rightarrow x=2\)
Thay vào PT ban đầu : \(\Rightarrow 3+|y-1|=-y+5\Leftrightarrow |y-1|=2-y\)
Xét TH \(y-1\geq 0\) và \(y-1<0\) ta thu được \(y=\frac{3}{2}\)
Thu được cặp nghiệm \((x,y)=\left (2,\frac{3}{2}\right)\)
Bài 2)
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\sqrt{\frac{z(x-z)}{xy}}+\sqrt{\frac{z(y-z)}{xy}}\leq 1\Leftrightarrow A=\left(\sqrt{\frac{z(x-z)}{xy}}+\sqrt{\frac{z(y-z)}{xy}}\right)^2\leq 1\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz kết hợp AM-GM:
\(A\leq \left ( \frac{z}{y}+\frac{z}{x} \right )\left ( \frac{x-z}{x}+\frac{y-z}{y} \right )=\left ( \frac{z}{x}+\frac{z}{y} \right )\left ( 2-\frac{z}{x}-\frac{z}{y} \right )\)
\(\leq \left ( \frac{\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+2-\frac{z}{x}-\frac{z}{y}}{2} \right )^2=1\)
Do đó ta có đpcm.
1)Điều kiện: \(x + y > 0\)\((1) \Leftrightarrow (x + y)^2 - 2xy + \dfrac{2xy}{x + y} - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow (x + y)^3 - 2xy(x + y) + 2xy -(x + y) = 0 \\ \Leftrightarrow (x+y)[(x+y)^2- 1]-2xy(x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x+y)(x+y+1)(x+y-1)-2xy(x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x + y - 1)[(x+y)(x + y + 1)-2xy] = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x + y = 1 \,\, (3) \\ x^2+y^2+x+y=0 \,\, (4) \end{matrix} \right.\)(4) vô nghiệm vì x + y > 0
Thế (3) vào (2) , giải được nghiệm của hệ :\((x =1 ; y = 0)\)và \((x = -2 ; y = 3)\)
\((1)\Leftrightarrow (x-2y)+(2x^3-4x^2y)+(xy^2-2y^3)=0\)\(\Leftrightarrow (x-2y)(1+2x^2+y^2)=0\)
\(\Leftrightarrow x=2y\)(vì \(1+2x^2+y^2>0, \forall x,y\))
Thay vào phương trình (2) giải dễ dàng.
Đk x \(\le\dfrac{7}{4}\) và y2 \(\le6x^2\)
Vì x \(\in Z^+\) => x = 1
Thay x = 1 ta có 2\(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{6-y^2}\) = \(\sqrt{3}y\)
<=> \(\sqrt{6-y^2}\) = \(\sqrt{3}\left(y-2\right)\) (Đk y \(\ge2\) )
<=> 6 - y2 = 3(y2 - 4y +4)
<=> 4y2 - 12y + 6 = 0
<=> 2y2 - 6y + 3 = 0
<=> y = \(\dfrac{3\pm\sqrt{3}}{2}\)
Vì y \(\ge2\) => y = \(\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}\)
Vậy x = 1 y = \(\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}\)