Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ ĐKXĐ: \(x\ge4\)
Đặt \(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=a>0\)
\(\Rightarrow a^2=2x+2\sqrt{x^2-16}\)
Phương trình trở thành:
\(a=a^2-12\Leftrightarrow a^2-a-12=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=4\\a=-3\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=4\)
\(\Leftrightarrow2x+2\sqrt{x^2-16}=16\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-16}=8-x\left(x\le8\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-16=x^2-16x+64\)
\(\Rightarrow x=5\)
b/ \(x\ge-\frac{1}{2}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+1}=a\\\sqrt{4x^2-2x+1}=b\end{matrix}\right.\) ta được:
\(a+3b=3+ab\)
\(\Leftrightarrow ab-a-\left(3b-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(b-1\right)-3\left(b-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-3\right)\left(b-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3\\b=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{2x+1}=3\\\sqrt{4x^2-2x+1}=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+1=9\\4x^2-2x=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=0\\x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Bài 2:
a/ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2y\right)^2-4xy-5=0\\4xy\left(x+2y\right)+5\left(x+2y\right)-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2y\right)^2-\left(4xy+5\right)=0\\\left(4xy+5\right)\left(x+2y\right)-1=0\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=a\\4xy+5=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-b=0\\ab=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2-\frac{1}{a}=0\Rightarrow a^3-1=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y=1\\4xy+5=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1-2y\\4y\left(1-2y\right)+4=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1-2y\\-8y^2+4y+4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\Rightarrow x=-1\\y=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=2\end{matrix}\right.\)
b/Cộng vế với vế:
\(17x^2-2\left(4y^2+1\right)x+y^4+1=0\)
\(\Delta'=\left(4y^2+1\right)^2-17\left(y^4+1\right)=-y^4+8y^2-16\)
\(\Delta'=-\left(y^2-4\right)^2\ge0\Rightarrow y^2-4=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\y=-2\end{matrix}\right.\)
- Với \(y=2\) \(\Rightarrow x^2-2x+1=0\Rightarrow x=1\)
\(\)- Với \(y=-2\Rightarrow x^2-2x-7=0\Rightarrow x=1\pm2\sqrt{2}\)
Bài 1:
\(\Leftrightarrow\left(x^2-6x-7\right)^2-\left(3x^2-12x-9\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(3x^2-12x-9-x^2+6x+7\right)\left(3x^2-12x-9+x^2-6x-7\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^2-6x-2\right)\left(4x^2-18x-16\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-3x-1\right)\left(2x^2-9x-8\right)=0\)
hay \(x\in\left\{\dfrac{3+\sqrt{13}}{2};\dfrac{3-\sqrt{13}}{2};\dfrac{9+\sqrt{145}}{4};\dfrac{9-\sqrt{145}}{4}\right\}\)
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y\ge1\\x+2y\ge2\\x+4y\ge0\end{matrix}\right.\)
\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{\left(2x+y-1\right)-\left(x+2y-2\right)}{\sqrt{2x+y-1}+\sqrt{x+2y-2}}+\left(x-y+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-y+1}{\sqrt{2x+y-1}+\sqrt{x+2y-2}}+\left(x-y+1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2x+y-1}+\sqrt{x+2y-2}}+1\right)=0\)\(\Leftrightarrow x-y+1=0\)
Thế vào pt 2 => x;y
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+y-1}=a\ge0\\\sqrt{x+2y-2}=b\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2-b^2=x-y+1\)
Phương trình thứ nhất trở thành:
\(a-b+a^2-b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(1+a+b\right)=0\Leftrightarrow a=b\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+y-1}=\sqrt{x+2y-2}\Rightarrow y=x+1\)
Thay xuống pt dưới:
\(4x^2-\left(x+1\right)^2+x+4-\sqrt{3x+1}-\sqrt{5x+4}=0\)
\(\Leftrightarrow3x^2-x+3-\sqrt{3x+1}-\sqrt{5x+4}=0\)
\(\Leftrightarrow3x^2-3x+x+1-\sqrt{3x+1}+x+2-\sqrt{5x+4}=0\)
\(\Leftrightarrow3x\left(x-1\right)+\frac{\left(x+1\right)^2-\left(3x+1\right)}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\frac{\left(x+2\right)^2-\left(5x+4\right)}{x+2+\sqrt{5x+4}}=0\)
\(\Leftrightarrow3x\left(x-1\right)+\frac{x\left(x-1\right)}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\frac{x\left(x-1\right)}{x+2+\sqrt{5x+4}}=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)\left(3+\frac{1}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\frac{1}{x+2+\sqrt{5x+4}}\right)=0\)
\(\begin{cases}y^2-x\sqrt{\frac{y^2+2}{x}}=2x-2\left(1\right)\\\sqrt{y^2+1}+\sqrt[3]{2x-1}=1\left(2\right)\end{cases}\)
Điều kiện \(x>0\)
Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho \(x\) ta được :
\(\frac{y^2+2}{x}-\sqrt{\frac{y^2+2}{x}}-2=0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{\frac{y^2+2}{x}=-1}\\\sqrt{\frac{y^2+2}{x}=2}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\frac{y^2+2}{x}=4\)
\(\Leftrightarrow y^2=4x+2\)
Thế vào phương trình (2) ta được : \(\sqrt{4x-1}+\sqrt[3]{2x-1}=1\)
Đặt \(\sqrt{4x-1}=u,\left(u\ge0\right),\sqrt[3]{2x-1}=v\) ta có hệ : \(\begin{cases}u+v=1\\u^2-2v^3=1\end{cases}\)
Giải hệ ta được \(u=1;v=0\Rightarrow x=\frac{1}{2};y=0\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : \(x=\frac{1}{2};y=0\)