Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(y'=x^2-2\left(m+1\right)x+m\)
Hàm đồng biến trên \(\left[4;9\right]\Leftrightarrow y'\ge0\) với mọi \(x\in\left[4;9\right]\)
\(\Leftrightarrow x^2-2\left(m+1\right)x+m\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x\ge m\left(2x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow m\le\frac{x^2-2x}{2x-1}\Rightarrow m\le\min\limits_{\left[4;9\right]}f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)=\frac{x^2-2x}{2x-1}\)
\(f'\left(x\right)=\frac{2\left(x^2-x+1\right)}{\left(2x-1\right)^2}>0\) \(\forall x\in\left[4;9\right]\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=f\left(4\right)=\frac{8}{7}\Rightarrow m\le\frac{8}{7}\)
\(y'=f\left(x\right)=3x^2-2\left(m+2\right)x+2m-3\)
Do \(a=3>0\Rightarrow\) hàm có khoảng nghịch biến duy nhất \(\left(x_1;x_2\right)\) khi \(\Delta>0\)
Để hàm số nghịch biến trên khoảng đã cho:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(m+2\right)^2-3\left(2m-3\right)>0\\x_1\le-2< 5\le x_2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-2m+13>0\left(luôn-đúng\right)\\f\left(-2\right)\le0\\f\left(5\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6m+17\le0\\-8m+52\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn
đáp án:
Hàm số đã cho xác định trên D = R.
Với m = -1. Khi đó hàm số trở thành y = -2x + 4 ; y' = -2 < 0 ∀x∈R, không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với m ≠ -1. Ta có f'(x)= 3(m+1)x2 - 6(m + 1)x + 2m
+ Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn [x1;x2 ] thỏa mãn |x1 - x2 | ≥ 1
+ f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn[x1;x2]
Theo Viét ta có 
+ Với |x1 - x2 | ≥ 1 ⇔ (x1 + x2 )2 - 4x1 x2 - 1 ≥ 0
Đối chiếu điều kiện ta có m ≤ -9.
Câu 2:
ĐK: $m\not\in (-1;+\infty)$
$y=\frac{mx+4}{x+m}\Rightarrow y'=\frac{m^2-4}{(x+m)^2}$
Để $y$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 1)$ thì:
\(\left\{\begin{matrix} m\not\in (-1;+\infty)\\ y'=\frac{m^2-4}{(x+m)^2}\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\not\in (-1;+\infty)\\ -2\leq m\leq 2\end{matrix}\right.\)
Với $m$ nguyên ta suy ra $m=-1; -2$. Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Câu 1:
Để $y$ đồng biến trên $(-\infty; +\infty)$ thì:
$y'=3x^2-2(2m-1)x+(2-m)\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$
Điều này xảy ra khi: $\Delta'=(2m-1)^2-3(2-m)\leq 0$
$\Leftrightarrow 4m^2-m-5\leq 0$
$\Leftrightarrow (4m-5)(m+1)\leq 0$
$\Leftrightarrow -1\leq m\leq \frac{5}{4}$
\(y=\dfrac{x^2-m^2+2m+1}{x-m}\) đúng không nhỉ?
\(y'=\dfrac{x^2-2mx+m^2-2m-1}{\left(x-m\right)^2}\)
Hàm đồng biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi:
\(x^2-2mx+m^2-2m-1\ge0\) ; \(\forall x\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-\left(m^2-2m-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow m\le-\dfrac{1}{2}\)
\(y'=x^2+2\left(m+1\right)x-\left(m+1\right)\)
Hàm đồng biến trên R khi và chỉ khi \(y'\ge0\) ; \(\forall x\in R\)
\(\Leftrightarrow x^2+2\left(m+1\right)x-\left(m+1\right)\ge0\) ; \(\forall x\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m+1\right)^2+\left(m+1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(m+2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow-2\le m\le-1\)
Lời giải:
a)
Hàm $y$ đồng biến trên khoảng xác định khi mà
\(y'=3x^2-6(2m+1)x+12m+5\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \Delta'=9(2m+1)^2-3(12m+5)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow -\sqrt{\frac{1}{6}}\leq m\leq \sqrt{\frac{1}{6}}\)
b) Hàm $y$ đồng biến trên TXĐ khi:
\(y'=3mx^2-2(2m-1)x+m-2\geq 0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\)
Để đảm bảo điều trên xảy ra với mọi $x$ thì \(m>0\)
Khi đó \(\Delta'=(2m-1)^2-3m(m-2)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow (m+1)^2\leq 0\) (vô lý)
Do đó không tồn tại $m$ thỏa mãn