Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{2}{c}=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{b}=\frac{2}{c}-\frac{1}{a}=\frac{2a-c}{ac}\\\frac{1}{a}=\frac{2}{c}-\frac{1}{b}=\frac{2b-c}{bc}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a-c=\frac{ac}{b}\\2b-c=\frac{bc}{a}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a+c}{2a-c}=\frac{b\left(a+c\right)}{ac}=\frac{ab}{ac}+\frac{bc}{ac}=\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\\\frac{b+c}{2b-c}=\frac{a\left(b+c\right)}{bc}=\frac{ab}{bc}+\frac{ac}{bc}=\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{2}{c}=0\Leftrightarrow\frac{2}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{c}\ge2\) ( áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) )
Ta có : \(\frac{a+c}{2a-c}+\frac{b+c}{2b-c}=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\frac{a+b}{c}\ge2+2=4\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Chúc bạn học tốt !!!
\(\frac{a}{b^2}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b^2a}}=\frac{2}{b}\); \(\frac{b}{c^2}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{c}\); \(\frac{c}{a^2}+\frac{1}{c}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng lại:
\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\Rightarrow\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Bài 1:Cách thông thường nhất là sos hoặc cauchy-Schwarz nhưng thôi ko làm:v Thử cách này cho nó mới dù rằng ko chắc
Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c\le1\Rightarrow a+b=3-c\ge2\) và \(a\ge1\)
Ta có \(LHS=a^3.a+b^3.b+c^3.c\)
\(=\left(a^3-b^3\right)a+\left(b^3-c^3\right)\left(a+b\right)+c^3\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\left(a^3-b^3\right).1+\left(b^3-c^3\right).2+3c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3=RHS\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
\(a;b;c>0\) và \(a+b+c=0\)?
Làm sao để điều này xảy ra được?
à nhầm =1 @_@