Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a^2+5b^2-\left(3a+b\right)\ge3ab-5\)
\(\Leftrightarrow2a^2+10b^2-2\left(3a+b\right)\ge6ab-10\)
\(\Leftrightarrow2a^2+10b^2-6a-2b-6ab+10\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-6a+9\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(a^2-6ab+9b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-3\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-3b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrowđcpm\)
1.
\(\frac{a^5}{b^3}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^5}{b^3}.ab}=2.\frac{a^3}{b}\)
Tương tự và cộng lại:
\(\frac{a^5}{b^3}+\frac{b^5}{c^3}+\frac{c^5}{a^3}\ge2\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)(1)
Lại có: \(\frac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2a^2\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}-\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
Vậy từ (1) ta có đpcm.
2.
\(\frac{a^5}{bc}+abc\ge2\sqrt{\frac{a^5}{bc}.abc}=2a^3\)
Tương tự và cộng lại
\(A=\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}\ge2\left(a^3+b^3+c^3\right)-3abc\ge a^3+b^3+c^3+3abc-3abc\)
\(\Rightarrow A\ge a^3+b^3+c^3=VP\)
Nếu \(x_o\)là nghiệm của phương trình đã cho thì \(x_o\ne0\)và
\(x_o^4+ax_o^3+bx_o^2+ax_o+1=0\)
Chia 2 vế cho \(x_o^2\), ta được :
\(\left(x_o^2+\frac{1}{x_o^2}\right)+a\left(x_o+\frac{1}{x_o}\right)+b=0\)(I)
Đặt \(t=x_o+\frac{1}{x_o}\); \(\left|t\right|=\left|x_o+\frac{1}{x_o}\right|=\left|x_o\right|+\left|\frac{1}{x_o}\right|\ge2\)
Từ (I) , => \(t^2+at+b-2=0\Rightarrow t^2=-at-b+2\)
Áp dụng BĐT B.C.S ta được :
\(t^4=\left[at+\left(b-2\right)\right]^2\le\left[a^2+\left(b-2\right)^2\right]\left(t^2+1\right)\)
\(\Rightarrow a^2+\left(b-2\right)^2\ge\frac{t^4}{t^2+1}\)
Mà \(\frac{t^4}{t^2+1}\ge\frac{t^4}{t^2+\frac{t^2}{4}}=\frac{4t^4}{5t^2}=\frac{4}{5}t^2\ge\frac{16}{5}\left(\text{vì}:t^2\ge4\right)\)
Vậy ......
bài 1)
ta có \(\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+b^2-2b+1\ge0\)
=> \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}-\frac{b^2}{b+a}-\frac{c^2}{b+c}-\frac{a^2}{c+a}\)
\(=\left(\frac{a^2}{a+b}-\frac{b^2}{b+a}\right)+\left(\frac{b^2}{b+c}-\frac{c^2}{b+c}\right)+\left(\frac{c^2}{c+a}-\frac{a^2}{c+a}\right)\)
\(=a-b+b-c+c-a=0\)
Từ đây ta suy ra được
\(\hept{\begin{cases}\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\le\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\\\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\ge\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\end{cases}}\)
Dấu = xảy ra khi \(|a|=|b|=|c|\)
Bài toán hay dùng BĐT Vacs\(\sqrt{a^2-a+1\:}+\sqrt{b^2-b+1}+\sqrt{c^2-c+1}\ge a+b+c\)
Kết hợp giữa việc sử dụng phương pháp tiếp tuyến và tinh ý nhận ra bổ đề Vacs
Chú tth thử làm nhứ. Trong TKHĐ của t có sol rồi nha !!!!
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow\frac{2+a^2+b^2}{\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(2+a^2+b^2\right)\ge2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
b/ \(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{2}{1+a^2b^2}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^4}+\frac{3}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{1+b^4}+\frac{3}{1+c^4}\ge\frac{4}{1+bc^3}\); \(\frac{1}{1+c^4}+\frac{3}{1+a^4}\ge\frac{4}{1+a^3c}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
a) \(2x+3y=4\Rightarrow x=\frac{4-3y}{2}\)
Lúc đó thì\(2x^2+3y^2=2\left(\frac{4-3y}{2}\right)^2+3y^2=\frac{\left(4-3y\right)^2+6y^2}{2}=\frac{9y^2-24y+16+6y^2}{2}\)\(=\frac{15y^2-24y+16}{2}=\frac{15\left(y^2-\frac{24}{15}+\frac{16}{25}\right)+\frac{32}{5}}{2}=\frac{15\left(y-\frac{4}{5}\right)^2+\frac{32}{5}}{2}\ge\frac{\frac{32}{5}}{2}=\frac{16}{5}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 4/5
b) \(3a-5b=8\Rightarrow a=\frac{5b+8}{3}\)
Lúc đó thì \(7a^2+11b^2=7\left(\frac{5b+8}{3}\right)^2+11b^2=\frac{7\left(5b+8\right)^2+99b^2}{9}\)\(=\frac{175b^2+560b+448+99b^2}{9}=\frac{274b^2+560b+448}{9}\)\(=\frac{274\left(b^2+\frac{280}{137}b+\left(\frac{140}{137}\right)^2\right)+\left(448-274.\left(\frac{140}{137}\right)^2\right)}{9}=\frac{274\left(b+\frac{140}{137}\right)^2+\frac{22176}{137}}{9}\ge\frac{2464}{137}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 132/137; b = -140/137