Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
m2+n2+p2+q2+1-mn+mp+mq+m
\(=\left(\dfrac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-m+1\right)\)
\(=\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\)
mà \(\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\ge0\)
=> \(\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\ge0\)
<=> m2+n2+p2+q2+1-mn+mp+mq+m \(\ge0\)
<=> m2+n2+p2+q2+1\(\ge\) mn+mp+mq+m
<=> m2+n2+p2+q2+1\(\ge\) m(n+p+q+1)
Vậy m2+n2+p2+q2+1\(\ge\) m(n+p+q+1) với mọi m, n, p, q
Giải:
Ta có:
\(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-m+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2\) \(+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\) \(\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m}{2}-n=0\\\dfrac{m}{2}-p=0\\\dfrac{m}{2}-q=0\\\dfrac{m}{2}-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=\dfrac{m}{2}\\p=\dfrac{m}{2}\\q=\dfrac{m}{2}\\m=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\n=p=q=1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\) (Đpcm)
\(m^2+n^2+\frac{1}{4}\ge2mn+m-n\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2+\frac{1}{4}-2mn-m+n\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2-2mn-2.\frac{1}{2}m+2.\frac{1}{2}n\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(n-m+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
Biểu thức cuối luôn đúng mà ta biến đổi tương đương nên ta có đpcm.
m2 + n2 + 1/4 ≥ 2mn + m - n
<=> 4m2 + 4n2 + 1 ≥ 8mn + 4m - 4n
<=> 4m2 + 4n2 + 1 - 8mn + 4m - 4n ≥ 0
<=> ( 2m - 2n + 1 )2 ≥ 0 ( đúng )
Vậy ta có đpcm
Câu 1: Dùng biến đổi tương đương:
a/ \(3\left(m+1\right)+m< 4\left(2+m\right)\)
\(\Leftrightarrow3m+3+m< 8+4m\)
\(\Leftrightarrow4m+3< 8+4m\)
\(\Leftrightarrow3< 8\) (đúng), vậy BĐT ban đầu là đúng
b/ \(\left(m-2\right)^2>m\left(m-4\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m+4>m^2-4m\)
\(\Leftrightarrow4>0\) (đúng), vậy BĐT ban đầu đúng
Câu 2:
a/ \(b\left(b+a\right)\ge ab\)
\(\Leftrightarrow b^2+ab\ge ab\)
\(\Leftrightarrow b^2\ge0\) (luôn đúng), vậy BĐT ban đầu đúng
b/ \(a^2-ab+b^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Câu 3:
a/ \(10a^2-5a+1\ge a^2+a\)
\(\Leftrightarrow9a^2-6a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
b/ \(a^2-a\le50a^2-15a+1\)
\(\Leftrightarrow49a^2-14a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(7a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Câu 4:
Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow VT=\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)
\(\Rightarrow VT< 2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow VT< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\)
Câu 1: Sửa đề là
\(x^2+2x+4^n-2^{n+1}+2=0\)
\(\Rightarrow x^2+2x+2^{2n}-2^{n+1}+1+1=0\)
\(\Rightarrow\left(x^2+2x+1\right)+\left(2^{2n}-2^{n+1}+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(2^{2n}-2.2^n+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(2^n-1\right)^2=0\)
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^2\ge0\\\left(2^n-1\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\forall x,n.\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(2^n-1\right)^2\ge0\) \(\forall x,n.\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(2^n-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^2=0\\\left(2^n-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\2^n-1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\2^n=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\2^n=2^0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\n=0\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;n\right)\in\left\{-1;0\right\}.\)
Chúc bạn học tốt!
Câu 1:
Câu hỏi của pham minh quang - Toán lớp 6 | Học trực tuyến
Câu 2:
\(\left(y+2\right)x^{2019}=y^2+2x+1\)
Nhận thấy \(y=-2\) không phải nghiệm nên ta có:
\(x^{2019}=\frac{y^2+2y+1}{y+2}=y+\frac{1}{y+2}\)
Do \(x\) nguyên \(\Rightarrow x^{2019}\) nguyên \(\Rightarrow\frac{1}{y+2}\) nguyên
\(\Rightarrow y+2=Ư\left(1\right)=\left\{-1;1\right\}\)
\(y+2=-1\Rightarrow y=-3\Rightarrow x^{2019}=-3\) (ko có x nguyên thỏa mãn)
\(y+2=1\Rightarrow y=-1\Rightarrow x^{2019}=-1\Rightarrow x=-1\)
Vậy nghiệm nguyên của pt là \(\left(x;y\right)=\left(-1;-1\right)\)
4mn(m2 - n2) = 4.(m-n)mn(m+n) h này chia hết cho 4 và 6 nên chia hết cho 24
Ta có: \(mn\left(m^2-n^2\right)=mn\left[\left(m^2-1\right)-\left(n^2-1\right)\right]=n\left[m\left(m^2-1\right)-1\left\{n^2-1\right\}\right]\)
\(=m\left(m-1\right)\left(m+1\right)+n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)
Mà: \(4mn\left(m^2-n^2\right)⋮4\)
Vậy: \(4mn\left(m^2-n^2\right)⋮4.6=24\)
Với mọi m;n;p;q dương nhé bạn!
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương:
\(\dfrac{m^2}{4}+n^2\ge2\sqrt{\dfrac{m^2n^2}{4}}=mn\)
\(\)\(\dfrac{m^2}{4}+p^2\ge2\sqrt{\dfrac{m^2p^2}{4}}=mp\)
\(\dfrac{m^2}{4}+q^2\ge2\sqrt{\dfrac{m^2q^2}{4}}=mq\)
\(\dfrac{m^2}{4}+1\ge2\sqrt{\dfrac{m^2}{4}}=m\)
Cộng theo vế: \(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\)