NM
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NH
2
2 tháng 5 2017
Ta có:
m2+n2+p2+q2+1-mn+mp+mq+m
\(=\left(\dfrac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-m+1\right)\)
\(=\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\)
mà \(\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\ge0\)
=> \(\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\ge0\)
<=> m2+n2+p2+q2+1-mn+mp+mq+m \(\ge0\)
<=> m2+n2+p2+q2+1\(\ge\) mn+mp+mq+m
<=> m2+n2+p2+q2+1\(\ge\) m(n+p+q+1)
Vậy m2+n2+p2+q2+1\(\ge\) m(n+p+q+1) với mọi m, n, p, q
3 tháng 5 2017
Giải:
Ta có:
\(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-m+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2\) \(+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\) \(\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m}{2}-n=0\\\dfrac{m}{2}-p=0\\\dfrac{m}{2}-q=0\\\dfrac{m}{2}-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=\dfrac{m}{2}\\p=\dfrac{m}{2}\\q=\dfrac{m}{2}\\m=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\n=p=q=1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\) (Đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 3 2019
Câu 1: Dùng biến đổi tương đương:
a/ \(3\left(m+1\right)+m< 4\left(2+m\right)\)
\(\Leftrightarrow3m+3+m< 8+4m\)
\(\Leftrightarrow4m+3< 8+4m\)
\(\Leftrightarrow3< 8\) (đúng), vậy BĐT ban đầu là đúng
b/ \(\left(m-2\right)^2>m\left(m-4\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m+4>m^2-4m\)
\(\Leftrightarrow4>0\) (đúng), vậy BĐT ban đầu đúng
Câu 2:
a/ \(b\left(b+a\right)\ge ab\)
\(\Leftrightarrow b^2+ab\ge ab\)
\(\Leftrightarrow b^2\ge0\) (luôn đúng), vậy BĐT ban đầu đúng
b/ \(a^2-ab+b^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 3 2019
Câu 3:
a/ \(10a^2-5a+1\ge a^2+a\)
\(\Leftrightarrow9a^2-6a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
b/ \(a^2-a\le50a^2-15a+1\)
\(\Leftrightarrow49a^2-14a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(7a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Câu 4:
Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow VT=\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)
\(\Rightarrow VT< 2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow VT< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 6 2020
a/ \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
b/ \(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
c/ \(\Leftrightarrow a^2+2a< a^2+2a+1\)
\(\Leftrightarrow0< 1\) (hiển nhiên đúng)
d/ \(\Leftrightarrow m^2-2m+1+n^2-2n+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=n=1\)
e/ \(\Leftrightarrow1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
CC
1
27 tháng 3 2018
Với mọi m;n;p;q dương nhé bạn!
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương:
\(\dfrac{m^2}{4}+n^2\ge2\sqrt{\dfrac{m^2n^2}{4}}=mn\)
\(\)\(\dfrac{m^2}{4}+p^2\ge2\sqrt{\dfrac{m^2p^2}{4}}=mp\)
\(\dfrac{m^2}{4}+q^2\ge2\sqrt{\dfrac{m^2q^2}{4}}=mq\)
\(\dfrac{m^2}{4}+1\ge2\sqrt{\dfrac{m^2}{4}}=m\)
Cộng theo vế: \(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 2 2020
\(VT\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)
\(VT\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c+\frac{9}{a+b+c}\right)^3=\frac{100}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
20 tháng 3 2018
a) \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
b)\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
20 tháng 3 2018
Câu a :
Ta có :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b\)
Câu b :
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( đúng )
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c\)
4 tháng 5 2018
Áp dụng BĐT : ( x - y)2 ≥ 0∀x,y
⇒ x2 + y2 ≥ 2xy
Ta có : a2 + b2 ≥ 2ab ( *)
b2 + c2 ≥ 2bc (**)
c2 + a2 ≥ 2ac (***)
Cộng từng vế của ( *;**;***) , ta có :
2( a2 + b2 + c2) ≥ 2( ab + bc + ac)
⇔ 3( a2 + b2 +c2) ≥ ( a + b + c)2
⇔ a2 + b2 + c2 ≥ \(\dfrac{3}{4}\)
5 tháng 5 2018
Đặt \(a=x+\dfrac{1}{2};b=y+\dfrac{1}{2};c=z+\dfrac{1}{2}\)
Ta có: \(a^2+b^2+c^2=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(z+\dfrac{1}{2}\right)^2\)
\(=x^2+x+\dfrac{1}{4}+y^2+y+\dfrac{1}{4}+z^2+z+\dfrac{1}{4}\)
\(=x^2+y^2+z^2+\left(x+y+z\right)+\dfrac{3}{4}\)
\(=x^2+y^2+z^2+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{4}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+x^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)
=> đpcm
\(m^2+n^2+\frac{1}{4}\ge2mn+m-n\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2+\frac{1}{4}-2mn-m+n\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2-2mn-2.\frac{1}{2}m+2.\frac{1}{2}n\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(n-m+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
Biểu thức cuối luôn đúng mà ta biến đổi tương đương nên ta có đpcm.
m2 + n2 + 1/4 ≥ 2mn + m - n
<=> 4m2 + 4n2 + 1 ≥ 8mn + 4m - 4n
<=> 4m2 + 4n2 + 1 - 8mn + 4m - 4n ≥ 0
<=> ( 2m - 2n + 1 )2 ≥ 0 ( đúng )
Vậy ta có đpcm