Question

[Hàn Vũ Nhi]

Chứng minh rằng : với n lẻ thì n = 2k + 1 ( k thuộc Z )

n³ + 3n² - n - 3 chia hết cho 48

Answer 1

[Nguyễn Tấn Phát]

Ta có: \(n^3+3n^2-n-3\)

\(=\left(n^3+3n^2\right)-\left(n+3\right)\)

\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\text{ (1)}\)

\(\text{Vì n = 2k + 1 (số lẻ) nên }\hept{\begin{cases}n+3=2k+1+3=2k+4\\n-1=2k+1-1=2k\\n+1=2k+1+1=2k+2\end{cases}}\)

\(\text{(1) = }\left(2k+4\right)\left(2k\right)\left(2k+2\right)\)

\(=2.\left(k+2\right).2k.2.\left(k+1\right)\)

\(=8k.\left(k+2\right)\left(k+1\right)\)

\(\text{Ta thấy }8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\text{chia hết cho 2 và chia hết cho 8}\)

\(\text{Nên }8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\text{ chia hết cho 16 (8 x 2 =16) (2)}\)

\(\text{Mà }k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\text{ là tích của 3 số tự nhiện liên tiếp }\)

\(\text{Nên }k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\text{ chia hết cho 3}\)

\(\text{Hay }8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\text{ chia hết cho 3 (3)}\)

\(\text{Từ (2) và (3) suy ra: }8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\text{ chia hết cho 48 (16 x 3 = 48)}\)

                                \(\text{hay }n^3+3n^2-n-3\text{ chia hết cho 48 }\left(\text{ĐPCM}\right)\)

Answer 2

[Nguyễn Linh Chi]

Ta có:

 \(n^3+3n^2-n-3=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)=\left(n+3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Với n=2k+1. Do đó ta có:

\(n^3+3n^2-n-3=\left(2k+1+3\right)\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)=\left(2k+4\right)\left(2k+2\right)\left(2k\right)\)

\(=8\left(k+2\right)\left(k+1\right)k\)

Vì \(k;\left(k+1\right)\)là hai số tự nhiên liên tiếp => \(k\left(k+1\right)⋮2\)

Vì \(k;\left(k+1\right);\left(k+2\right)\)là ba số tự nhiên liên tiếp => \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮3\)

mà (2; 3) =1

=> \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮6\)

=> \(8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮48\)