Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)
\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)
Vì \(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮5\)( tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5)
và \(5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)
=> \(a^5-a⋮5\)
Nếu \(a^5⋮5\)=> a chia hết cho 5
1. Ta có: a^5 - a = a(a^4 - 1) = a(a² - 1)(a² + 1) = a(a - 1)(a + 1)(a² + 1)
= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4 + 5)
= a(a - 1)(a + 1)[ (a² - 4) + 5) ]
= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4) + 5a(a - 1)(a + 1)
= a(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1)
= (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1)
Do (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 5 mà 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 5
=> (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 5.
=> a^5 - a chia hết cho 5
Mà a^5 chia hết cho 5 => a chia hết cho 5.
( Nếu a không chia hết cho 5 thì a^5 - a không chia hết cho 5 vì a^5 chia hết cho 5)
1. Giả sử \(a-3⋮a^2+2\Rightarrow\dfrac{a-3}{a^2+2}=A\) \(\left(A\in Z;A\ne0\right)\)
\(\Rightarrow a-3=A.a^2+2A\Rightarrow A.a^2-a+2A+3=0\)
\(\Delta=1-4A\left(2A+3\right)\ge0\Rightarrow-8A^2-12A+1\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{-3-\sqrt{11}}{4}\le A\le\dfrac{-3+\sqrt{11}}{4}\)
Mà A nguyên \(\Rightarrow A=0\) hoặc \(A=-1\)
\(A=0\Rightarrow a-3=0\Rightarrow a=3\)
\(A=-1\Rightarrow-a^2-a+1=0\) \(\Rightarrow\) pt ko có nghiệm nguyên
Vậy a=0 thì a-3 chia hết \(a^2+2\)
2. \(x^2-2y=1\Rightarrow2y=x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)
Nếu x chẵn \(\Rightarrow x=2\Rightarrow\) y không phải số tự nhiên (loại)
Nếu x lẻ \(\Rightarrow x-1\) và \(x+1\) đều là số chẵn \(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮4\)
Đặt \(\left(x-1\right)\left(x+1\right)=4k\) với \(k\in N;k\ge1\)
\(\Rightarrow2y=4k\Rightarrow y=2k\)
Nếu \(k=1\Rightarrow y=2\Rightarrow x^2=2y+1=5\) \(\Rightarrow\) x không phải số tự nhiên (loại)
Nếu \(k>1\) \(\Rightarrow\) y là số chẵn lớn hơn 2 \(\Rightarrow\) y không phải là số nguyên tố
\(\Rightarrow\)Không tồn tại cặp số nguyên tố (x;y) nào để \(x^2-2y=1\)
3. Nếu d=0 =>d chia hết cho 6. Xét d>0, d là STN
Ta luôn có \(p>2\) do nếu \(p=2\Rightarrow p+2d=2\left(d+1\right)\) là hợp số, vô lý
\(\Rightarrow\) p là số lẻ \(\Rightarrow d\) là số chẵn (vì nếu d lẻ thì p+d chẵn là hợp số) \(\Rightarrow d⋮2\)
TH1: \(p=3a+1\)
Nếu \(d=3b+1\Rightarrow p+2d=3a+1+6b+2=3\left(a+2b+1\right)⋮3\)
\(\Rightarrow\) vô lý (do giả thiết p+2d là số nguyên tố)
Nếu \(d=3b+2\Rightarrow p+d=3a+1+3b+2=3\left(a+b+1\right)⋮3\) vô lý
Vậy \(d=3b\Rightarrow d⋮3\Rightarrow d⋮6\)
TH2: \(p=3a+2\)
Nếu \(d=3b+1\Rightarrow p+d=3a+2+3b+1=3\left(a+b+1\right)⋮3\) (loại)
Nếu \(d=3b+2\Rightarrow p+2d=3a+2+6b+4=3\left(a+2b+2\right)⋮3\) (loại)
Vậy \(d=3b⋮3\Rightarrow d⋮6\)
Kết luận: nếu p, p+d, p+2d là số nguyên tố thì d chia hết cho 6
4. Đề sai. Ta lấy ví dụ n=3 \(\Rightarrow2^3+1=9\) là hợp số, nhưng \(2^3-1=7\) là số nguyên tố
Hoặc \(n=5...\)
(\(a^2\)+\(b^2\)).(\(x^2\)+\(y^2\))>= (ax+by)^2
<=> \(a^2\).\(x^2\)+\(a^2\).\(y^2\)+\(b^2\).\(x^2\)+\(b^2\).\(y^2\)>=\(a^2\).\(x^2\)+2axby+\(b^2\).\(y^2\)
<=> \(a^2\).\(y^2\)- 2aybx+\(b^2\).\(x^2\)>=0
<=> (ay-bx)^2>=0 (luôn đúng)
vậy(\(a^2\)+\(b^2\)).(\(x^2\)+\(y^2\))>=(ax+by)^2
(a2a2+b2b2).(x2x2+y2y2)>= (ax+by)^2
<=> a2a2.x2x2+a2a2.y2y2+b2b2.x2x2+b2b2.y2y2>=a2a2.x2x2+2axby+b2b2.y2y2
<=> a2a2.y2y2- 2aybx+b2b2.x
Do mình chờ duyệt lâu quá nên các bạn thông cảm giả được báo cho mình
A PHONES
tables chopsiks wardrobes bed fridges dishes desks house rooms lamps posters shinks toilets qpartments laptops buildings books clocks |
/s/ | /is | /z/ |
| |
a: \(=2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+...+2^{58}\left(1+2+2^2\right)\)
\(=7\left(2+2^4+...+2^{58}\right)\)
\(=14\left(1+2^3+...+2^{57}\right)⋮14\)
b: \(=\left(3+3^2\right)+3^3\left(3+3^2\right)+...+3^{19}\left(3+3^2\right)\)
\(=12\left(1+3^3+...+3^{19}\right)⋮12\)
a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n
Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3
Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) 3
Ta phải chứng minh rằng Sk+1 3
Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5
= k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9
hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk 3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3)
3 nên Sk+1
3.
Vậy (n3 + 3n2 + 5n) 3 với mọi n ε N* .
b) Đặt Sn = 4n + 15n - 1
Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1 9
Giả sử với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k - 1 chia hết cho 9.
Ta phải chứng minh Sk+1 9.
Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1
= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk 9 nên 4S1
9, mặt khác 9(5k - 2)
9, nên Sk+1
9
Vậy (4n + 15n - 1) 9 với mọi n ε N*