K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

19 tháng 9 2016

với a, b không âm thì
\(ab>0\Rightarrow\sqrt{ab}>0\Rightarrow2\sqrt{ab}>0\Rightarrow a+2\sqrt{ab}+b>a+b\Rightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2>\left(\sqrt{a+b}\right)^2\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\left(đpcm\right)\)

19 tháng 9 2016

mk đang cần phải cm là \(\sqrt{a-b}>=\sqrt{a}-\sqrt{b}\)

chứ đâu phải là \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\)

1 tháng 1 2020

bài này hay đấy

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm, ta có :

\(\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}.\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}.\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}}=3\)

Chứng minh \(\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\le3+a+b+c\)( 1 )

đặt \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\)( x,y,z \(\ge\)0 )

do a,b,c là số nguyên 

Nếu a = b = c = 0 thì x = y = z = 0 nên ( 1 ) đúng

Nếu a,b,c không đồng thời bằng 0 \(\Rightarrow\)x+ y + z \(\ge\)1

Ta có : VT ( 1 ) 

\(\Leftrightarrow\frac{\left(1+x\right)\left(1+y\right)-\left(1+x\right)y}{1+y}+\frac{\left(1+y\right)\left(1+z\right)-\left(1+y\right)z}{1+z}+\frac{\left(1+z\right)\left(1+x\right)-\left(1+z\right)x}{1+z}\)

\(=3+x+y+z-\left[\frac{\left(1+x\right)y}{1+y}+\frac{\left(1+y\right)z}{1+z}+\frac{\left(1+z\right)x}{1+x}\right]\)

\(\le3+x+y+z-\frac{\left(1+x\right)y+\left(1+y\right)z+\left(1+z\right)x}{1+x+y+z}=3+x+y+z-\frac{x+y+z+xy+yz+xz}{1+x+y+z}\)

\(=3+\frac{x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz}{1+x+y+z}\le3+x^2+y^2+z^2\)

Cần chứng minh : \(\frac{x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz}{1+x+y+z}\le x^2+y^2+z^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge xy+yz+xz\)

Mà \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge1.\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge xy+yz+xz\)

suy ra đpcm

18 tháng 9 2020

1) Vì \(a,b>0\)\(\Rightarrow\)\(\sqrt{ab}>0\)

                          \(\Leftrightarrow\)\(2\sqrt{ab}>0\)

                          \(\Leftrightarrow\)\(a+b+2\sqrt{ab}>a+b\)

                          \(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2>a+b\)

                          \(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\)

Vậy \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\)

18 tháng 9 2020

1. Ta có: \(\left(\sqrt{a+b}\right)^2=a+b\)

              \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+2\sqrt{ab}+b\)

Vì \(a>0\)\(b>0\)\(\Rightarrow\sqrt{ab}>0\)\(\Rightarrow2\sqrt{ab}>0\)

\(\Rightarrow a+b< a+2\sqrt{ab}+b\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+b}\right)^2< \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

mà \(\hept{\begin{cases}\sqrt{a+b}>0\\\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)( đpcm )

5 tháng 1 2021

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3

Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có....

5 tháng 1 2021

.

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3

Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có