Câu hỏi của duonghoangkhanhphuong

Question

Chứng minh m, n là số nguyên ta có:

b. mn(m^2 - n^2) chia hết cho 6

c. n(n+1)(2n+1) chia hết cho 6

Lê Song Phương · Accepted Answer

b) Ta có: $mn\left(m^2-n^2\right)=mn\left(m-n\right)\left(m+n\right)$(*)

Xét tích (*), ta thấy khi m và n có cùng tinh chẵn lẻ thì m - n và m + n là số chẵn, từ đó (*)$⋮2$

Nếu chỉ có một trong hai số m và n là số chẵn, thì hiển nhiên (*) $⋮2$

Vậy (*) $⋮2$với mọi trường hợp m và n nguyên. (1)

Xét tiếp tích (*), ta thấy khi m và n có cùng số dư (là các cặp 0,0 ; 1,1 ; 2,2) khi chia cho 3 thì $m-n⋮3$, từ đó (*) $⋮3$

Khi một trong hai số m và n chia hết cho 3 (là các cặp 0,1 ; 0,2) thì hiển nhiên (*) $⋮3$

Khi hai số m và n có tổng các số dư khi chia cho 3 là 3 (là cặp 1,2) thì $m+n⋮3$, từ đó (*) $⋮3$

Vậy (*) $⋮3$với mọi trường hợp m và n nguyên. (2)

Mặt khác $\left(2,3\right)=1$(3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow$(*) $⋮2.3=6$với mọi m và n nguyên $\Rightarrow mn\left(m^2-n^2\right)⋮6$với mọi m và n nguyên.

c) Đặt $n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)=k\left(k\inℤ\right)$

Xét số k, ta thấy n và n + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên trong hai số n và n + 1 luôn có một số là bội của 2

$\Rightarrow k⋮2$với mọi n nguyên (1)

Xét tiếp số k lần nữa, ta lại thấy khi n$⋮3$thì hiển nhiên $k⋮3$

Khi n chia 3 dư 2 thì $n+1⋮3$,từ đó $k⋮3$

Khi n chia 3 dư 1 thì $2n+1⋮3$, từ đó $k⋮3$

Vậy $k⋮3$với mọi n nguyên. (2)

Mà $\left(2,3\right)=1$(3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow k⋮2.3=6$với mọi n nguyên $\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮6$với mọi n nguyên

Câu trả lời: