Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1 :
a) \(x^2+y^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2-2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=\left(-3\right)^2-2.\left(-28\right)=65\)
b) \(x^3+y^3\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2+2xy+y^2-3xy\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]=\left(-3\right)\left[\left(-3\right)^2-3.\left(-28\right)\right]=-279\)
c) \(x^4+y^4\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4-4x^3y-4xy^3-6x^2y^2=\left(-3\right)^4-4\left(-28\right).65-6\left(-28\right)^2=2657\)
\(\Sigma_{sym}a^4b^4\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}a^2b^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}ab\right)^4}{27}\ge\frac{a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)^2}{3}=3a^4b^4c^4\)
\(\Sigma\frac{a^5}{bc^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^4}{abc\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^6\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc\left(a+b+c\right)^3}\)
\(\ge\frac{\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc}=a^2+b^2+c^2\)
1) a2 +b2 +c2>= ab +bc +ca <=> 2a2 +2b2 +2c2 >=2ab +2bc +2ca <=> 2a2 +2b2 +2c2 -2ab -2bc -2ca >= 0
<=> (a -b)2 +(b -c)2 + (c -a)2 >= 0 (bđt đúng với mọi a, b, c)
2) Áp dụng bđt Cauchy với a, b, c > 0 ta có :
\(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{bc.ab}{ac}}=2b\)
tương tự : \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\); \(\frac{ca}{b}+\frac{bc}{a}\ge2c\)
Cộng từng vế 3 bđt trên suy ra đpcm
3) Từ gt a a +b =c => a +b -c =0 => (a +b -c)2 = 0 => a2 +b2 +c2 +2ab -2bc -2ca = 0
=> a2 +b2 +c2 = 2bc + 2ca -2ab => (a2 +b2 +c2)2 = (2bc +2ca -2ab)2
=> a4 +b4 +c4 +2a2b2 +2b2c2 +2c2a2 = 4b2c2 +4c2a2 +4a2b2 +4abc2-4a2bc - 4ab2c
=> a4 +b4 +c4 -2a2b2 -2b2c2 -2c2a2 = 4abc(c -a -b) = 4abc.0 =0
Vậy a4 +b4 +c4 = 2a2b2 +2b2c2 +2c2a2
Mọi người giúp mình bài nay với. Mai mình nộp bài mà mình lại học toán hơi kém tí. Thanhks trước.
Bài 1: cho a, b, c thuộc R.
Chứng minh a2 + b2 + c2 >= ab+ac+bc
Bài 2:cho a, b, c >0.
Chứng minh (bc/a)+(ac/b)+(ab/c)>= a+b+c
Bài 3: cho a, b, c thoả mãn a+b=c.
Chứng minh a4 +b4 +c4 =2a2b2 +2b2c2 + 2a2c2
Tất cả các câu này đều có thể chứng minh bằng phép biến đổi tương đương:
a.
\(\Leftrightarrow a^{10}+b^{10}+a^4b^6+a^6b^4\le2a^{10}+2b^{10}\)
\(\Leftrightarrow a^{10}-a^6b^4+b^{10}-a^4b^6\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^6\left(a^4-b^4\right)-b^6\left(a^4-b^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^6-b^6\right)\left(a^4-b^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
b.
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a^2}{4}+b^2+c^2-ab+ac-2bc\right)+b^2-2b+1+c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{2}-b+c\right)^2+\left(b-1\right)^2+c^2\ge0\) (luôn đúng)
c.
\(\Leftrightarrow a^2+4b^2+4c^2-4ab-8bc+4ac\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b+2c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
d.
\(\Leftrightarrow4a^4-8a^3+4a^2+a^2-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a^2-2a\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)