Câu hỏi của Phùng Gia Bảo

Question

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) 8(a³ + b³ + c³) >= (a + b)³ + (b + c)³ + (c + a)³ với a,b,c > 0

b) (a + b +...

Nguyễn Đình Hùng · Accepted Answer

a)8(a^3+b^3+c^3)>=(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3

=>8(a^3+b^3+c^3)>=2(a^3+b^3+c^3)+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a)

=>6(a^3+b^3+c^3)>=3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a) (*)

mà a^3+b^3>=ab(a+b)

=>(*) luôn đúng (đpcm)

b)(a+b+c)^3>=a^3+b^3+c^3+24abc (*)

=> a^3+b^3+c^3+3
(a+b)(b+c)(c+a)>=a^3+b^3+c^3+24abc

mà a+b>=2√ab

Ta có a^3+b^3+c^3+3(2√ab)(2√bc)(2√ca)=a^3+b^3+c^3+24abc

Mà a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)>=a^3+b^3+c^3+3(2√ab)(2√bc)(2√ca)

=> (*) luôn đúngCâu trả lời: a)8(a^3+b^3+c^3)>=(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3

=>8(a^3+b^3+c^3)>=2(a^3+b^3+c^3)+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a)

=>6(a^3+b^3+c^3)>=3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a) (*)

mà a^3+b^3>=ab(a+b)

=>(*) luôn đúng (đpcm)

b)(a+b+c)^3>=a^3+b^3+c^3+24abc (*)

=> a^3+b^3+c^3+3
(a+b)(b+c)(c+a)>=a^3+b^3+c^3+24abc

mà a+b>=2√ab

Ta có a^3+b^3+c^3+3(2√ab)(2√bc)(2√ca)=a^3+b^3+c^3+24abc

Mà a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)>=a^3+b^3+c^3+3(2√ab)(2√bc)(2√ca)

=> (*) luôn đúng

olm (admin@gmail.com) · Answer

Áp dụng BĐT $4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3$,ta được:

$4a^3+4b^3\ge\left(a+b\right)^3$;$4b^3+4c^3\ge\left(b+c\right)^3$;$4a^3+4c^3\ge\left(a+c\right)^3$

$\Rightarrow8a^3+8b^3+8c^3\ge\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(a+c\right)^3$

$\Leftrightarrow8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(a+c\right)^3$

Câu trả lời:

Áp dụng BĐT $4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3$,ta được:

$4a^3+4b^3\ge\left(a+b\right)^3$;$4b^3+4c^3\ge\left(b+c\right)^3$;$4a^3+4c^3\ge\left(a+c\right)^3$

$\Rightarrow8a^3+8b^3+8c^3\ge\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(a+c\right)^3$

$\Leftrightarrow8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(a+c\right)^3$