K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NH
9
PN
2 tháng 8 2020
\(bđt< =>\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(< =>a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(< =>a^2+b^2\ge2ab\)
\(< =>\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
Vậy ta có điều phải chứng minh
DL
11
31 tháng 12 2018
BĐT Nesbitt nhé ko phải Nesbit đâu .V
Bđt đấy đây: Cho a,b,c dương
CMR: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Giải
Ta có: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{a+c}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)-3\)
\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)
\(=\frac{1}{2}.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)
Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương được
\(\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)
\(\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.3.\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}-3\)
\(=\frac{1}{2}.9.\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}-3\)
\(=\frac{9}{2}-3\)
\(=\frac{3}{2}\)
Dấu "='' xảy ra <=> a=b=c
Vậy ...........
T
31 tháng 12 2018
BĐT Nesbit: Với a,b,c dương:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
\(BĐT\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow2\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)
Dùng bất đẳng thức cô si hai lần vào vế trái sẽ có điều cần chứng minh.
DK
1
23 tháng 9 2020
Ta có: \(2x^2+2x+1\)
\(=2\left(x^2+x+\frac{1}{2}\right)\)
\(=2\left(x^2+2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)\)
\(=2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\)
Ta có: \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\forall x\)
hay \(2x^2+2x+1>0\forall x\)(đpcm)
23 tháng 9 2020
Này giải chi tiết cho mk cái bước 3 và 4 đi Nguyễn Lê Phước Thịnh
DK
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2020
Lời giải:
$x^2+x+1=x^2+2.x.\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$
$=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$
$\geq 0+\frac{3}{4}$
$> 0$
Ta có đpcm.
DK
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2020
Lời giải:
Ta thấy:
$9x^2-6x+2=(9x^2-6x+1)+1$
$=[(3x)^2-2.3x+1^2]+1=(3x-1)^2+1$
Vì $(3x-1)^2\geq 0$ với mọi $x$
$\Rightarrow 9x^2-6x+2=(3x-1)^2+1\geq 1>0$ với mọi $x$
Ta có đpcm.
DK
0
DK
1
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
\(\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
\(\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đăngr thức xảy ra <=> a = b