Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài này x;y;z phải dương chứ nhỉ? Có dấu "=" ở số 0 thế kia thì bối rối quá
Dự đoán dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số x;y;z luôn tồn tại 2 số nằm cùng phía so với \(\frac{1}{2}\) ; giả sử đó là x và y
\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y\right)-xy\le\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow x+y-2xy\le\frac{1}{2}\)
Mặt khác:
\(1=2xyz+x^2+y^2+z^2\ge2xyz+2xy+z^2=2xy\left(1+z\right)+z^2\)
\(\Rightarrow1-z^2\ge2xy\left(1+z\right)\Leftrightarrow\left(1-z\right)\left(1+z\right)\ge2xy\left(1+z\right)\)
\(\Leftrightarrow1-z\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1-z}{2}\)
\(\Rightarrow P=xy+z\left(x+y-2xy\right)\le\frac{1-z}{2}+\frac{z}{2}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
vì \(x^2+y^2+z^2=1\)
\(\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)
\(2P=2\left(xy+xz+yz\right)+x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(x-z\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2-2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\)
\(2P-2=-\left(x-y\right)^2-\left(x-z\right)^2-\left(y-z\right)^2+x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(x-z\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\)
\(2P-2=\left(x^2-1\right)\left(y-z\right)^2+\left(y^2-1\right)\left(x-z\right)^2+\left(z^2-1\right)\left(x-y\right)^2\le0\)
\(2P-2\le0\)
\(2P\le2\)
\(P\le1\)
GTLN P là 1 khi x=y=z=\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
tth_new_dep_trai_lai_lang_solo_SOS_Ji_Chen_tuoi_tom nhờ mình đăng hộ nha!
Xét : A = x^2017+x^2017+1+1+.....+1 ( 2015 số 1 )
Áp dụng bđt cosi thì :
A >= \(2017\sqrt[2017]{x^{2017}.x^{2017}}\) = 2017.x^2
=> x^2 < = 2x^2017+2015/2017
Tương tự : y^2 < = 2y^2017+2015/2017 ; z^2 < = 2z^2017+2015/2017
=> x^2+y^2+z^2 < = 2(x^2017+y^2017+z^2017)+6045/2017 = 2.3+6045/2017 = 3
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
Vậy GTLN của x^2+y^2+z^2 = 3 <=> x=y=z=1
Tk mk nha
2.
a/ Áp dụgn hệ quả bđt cô si,ta có :
\(A=xy+yz+zx\le\dfrac{\left(x+y+z\right)}{3}=\dfrac{a^2}{3}\)
Vậy GTLN A =a^2/3 khi x= y =z =a/3
b/Áp dụng BĐT Cô-Si dạng Engel,ta có :
\(B=\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{1}+\dfrac{z^2}{z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}\)
Vậy GTNN của B = a^2/2 khi x=y=z =a/3
\(B=\dfrac{3x}{1-x}+\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}+7\ge2\sqrt{\dfrac{3x}{1-x}.\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}}+7=7+4\sqrt{3}=\left(2+\sqrt{3}\right)^2\)
Vậy min B = \(\left(2+\sqrt{3}\right)^2\) khi \(\dfrac{3x}{1-x}=\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}\Leftrightarrow x=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{5}+\frac{y}{6}+\frac{z}{4}\le1\)
Đặt \(\left(\frac{x}{5};\frac{y}{6};\frac{z}{4}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow0\le a;b;c\le1\) và \(a+b+c\le1\)
\(T=25a^2+36b^2+16c^2-20a-24b-4c\)
\(25a\left(a-\frac{32}{25}\right)\le0\Rightarrow25a^2\le32a\)
\(36b\left(b-1\right)\le0\Rightarrow36b^2\le36b\)
\(16c\left(c-1\right)\le0\Rightarrow16c^2\le16c\)
\(\Rightarrow T\le32a+36b+16c-20a-24b-4c=12\left(a+b+c\right)\le12\)
\(T_{max}=12\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=0\\c=1\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=1\\c=0\end{matrix}\right.\)
Ta có x,y,z là các số thực dương
Khi đó : \(5\left(x^2+y^2+z^2\right)-9x\left(y+z\right)-18yz=0.\)
\(\Leftrightarrow5\frac{x^2}{\left(y+z\right)^2}+\frac{5\left(y^2+z^2\right)}{\left(y+z\right)^2}-\frac{9x}{y+z}-\frac{18yz}{\left(y+z\right)^2}=0\)
\(\Leftrightarrow5\left(\frac{x}{y+z}\right)^2-\frac{9x}{y+z}=\frac{18yz}{\left(y+z\right)^2}-\frac{5\left(y^2+z^2\right)}{\left(y+z\right)^2}\)
\(\le\frac{\frac{18\left(y+z\right)^2}{4}}{\left(y+z\right)^2}-\frac{\frac{5\left(y+z\right)^2}{2}}{\left(y+z\right)^2}=\frac{18}{4}-\frac{5}{2}=2.\)
\(\Rightarrow5\left(\frac{x}{y+z}\right)^2-9.\frac{x}{y+z}\le2.\)
Đặt \(\frac{x}{y+z}=a>0\)ta được \(5a^2-9a-2\le0\)
\(\Leftrightarrow5a^2-10a+a-2\le0\Leftrightarrow\left(5a+1\right)\left(a-2\right)\le0\)
Dễ thấy \(5a+1>0\)\(\Rightarrow a-2\le0\Leftrightarrow a\le2\Leftrightarrow\frac{x}{y+z}\le2.\)
Ta có: \(Q=\frac{2x-y-z}{y+z}=\frac{2x}{y+z}-1\le2.2-1=3\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}y=z\\\frac{x}{y+z}=2\end{cases}\Leftrightarrow x=4y=4z}\)
Vậy Giá trị lớn nhất của \(Q=3\Leftrightarrow x=4y=4z.\)
(4x + 2y + 2z - \(\sqrt{4xy}-\sqrt{4xz}+2\sqrt{yz}\) )+(y - \(6\sqrt{y}\) + 9)+(z- \(10\sqrt{z}\) + 25) = 0
<=> (\(2\sqrt{x}-\sqrt{y}-\sqrt{z}\))2 + (\(\sqrt{y}-3\))2 + (\(\sqrt{z}-5\))2 = 0 (1)
Vì VP \(\ge0\) => để (1) có n0 thì
\(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x}-\sqrt{y}-\sqrt{z}=0\left(x\right)\\\sqrt{y}-3=0\left(xx\right)\\\sqrt{z}-5=0\left(xxx\right)\end{matrix}\right.\)
Từ(xx) => \(\sqrt{y}=3\) <=> y = 9
Từ (xxx) => \(\sqrt{z}=5\) <=> z = 25
Từ (x) => \(2\sqrt{x}=8\) <=> \(\sqrt{x}=4\) <=> x = 16
=> M = (16 - 15)2 + (9 - 8)2 + (25 - 24)2 = 1 + 1 + 1 = 3
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 4 số dương :
\(\Rightarrow2x+xy+z+yzt\ge4\sqrt[4]{2x^2y^2z^2t}\)
\(\Rightarrow1\ge4\sqrt[4]{2x^2y^2z^2t}\Rightarrow1\ge512.x^2y^2z^2t\Rightarrow x^2y^2z^2t\le\dfrac{1}{512}\)
=> MaxI=\(\dfrac{1}{152}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{8}\\y=2\\z=\dfrac{1}{4}\\t=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Hà Nam Phan Đình cho tớ hỏi BĐT AM-GM là BĐT gì vậy? và lớp mấy được hok vậy ạ?