VA
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
3
12 tháng 9 2017
Sửa đề : cm\(x^2+y^2+z^2\ge3\)
Theo bunhiacopxki ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(z^2+x^2+x^2\right)\ge\left(xy+yz+xz\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\left|xy+yz+yz\right|\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\)(1)
Lại có : \(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)(Cauchy)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\)(2)
Cộng vế với vế của (1) ; (2) ta có :
\(3x^2+3y^2+3z^2+3\ge2\left(xy+yz+xz+x+x+z\right)=2.6=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=\frac{12}{3}-1=3\)
12 tháng 9 2017
Ta có:
x2+y2>=2xy {1}
y2+z2>=2yz {2}
x2+z2>=2xz {3}
cộng{1},{2}và{3}:2{x2+y2+z2}>=2{xy+yz+...
x2+y2+z2>=xy+yz+xz
ta có:x+y+z+xy+yz+xz=6
xy+yz+xz=6-{x+y+z}
để cho bđt có nghĩ khi và chỉ khi:x=y=z=1
suy ra:x+y+z=3
vậy:x2+y2+z2>=6-{x+y+z}
x2+y2+z2>=3
2 tháng 2 2019
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm, ta có: \(0< \sqrt[3]{yz.1}\le\frac{y+z+1}{3}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\frac{3x}{y+z+1}\)
Làm tương tự với 2 hạng tử còn lại rồi cộng theo vế thì có:
\(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)\)
\(=3\left(\frac{x^2}{xy+xz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{zx+yz+z}\right)\ge^{Schwartz}3.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=3.\frac{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\ge9.\frac{xy+yz+zx}{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=9.\frac{xy+yz+zx}{3+2.3}=xy+yz+zx\) => ĐPCM.
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.
NM
Nguyễn Minh Quang
Giáo viên
17 tháng 5 2021
Ta có \(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x+y+z\right)^2=4\Rightarrow+xy+yz+zx=-7\)
vì \(x+y+z=2\Rightarrow z-1=1-x-y\Rightarrow\frac{1}{xy+z-1}=\frac{1}{xy+1-x-y}=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}. \)
Suy ra \(S=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+\frac{1}{\left(y-1\right)\left(z-1\right)}+\frac{1}{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}. \)
\(\frac{z-1+x-1+y-1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}=\frac{x+y+z-3}{xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1}=-\frac{1}{7}\)
15 tháng 10 2017
Ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\le\left(x.1+y.1+z.1\right)^2\) (bđt Bunhiacopxki)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) hay \(1\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\Rightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\) (do x;y;z dương)
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2y\)
\(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{xz}{y}}=2x\)
\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{yz}{x}.\frac{xz}{y}}=2z\)
Cộng vế với vế ta được :
\(2C\ge2\left(x+y+z\right)=2\sqrt{3}\Rightarrow C\ge\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
15 tháng 10 2017
Đức Hùng hình như áp dụng sai ( ngược dấu ) BĐT Bunhiacopxki rồi
TV
23 tháng 8 2021
vì x2+y2+z2=1 mà x2+y2+z2>=xy+yz+xz suy ra 1>= xy+yz+xz
x2+y2+z2=1 suy ra (x-y)2=1-2xy-z2 ,(y-z)2=1-2yz-x2,(x-z)2=(x-z)2=1-2xz-y2
\(\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2]=\)
\(\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[3-\left(2xy+z^2+2yz+x^2+2xz+y^2\right)]\)(do (x-y)2=1-2xy-z2(y-z)2=1-2yz-x2,(x-z)2=(x-z)2=1-2xz-y2)
theo bdt cosi ta có:
\(\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[3-\left(2xy+z^2+2yz+x^2+2xz+y^2\right)]\)
\(\le\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[3-\left(2z\sqrt{2xy}+2y\sqrt{2xz}+2x\sqrt{2yz}\right)]\)
\(\le\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[3-3\sqrt[3]{\left(2z\sqrt{2xy}.2y\sqrt{2xz}.2x\sqrt{2yz}\right)}\)
\(=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}[1-2\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}]\)\(=\sqrt{3}\left(1+\frac{1}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\right)=\sqrt{3}\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\right)\)
suy ra
\(\frac{x+y+z}{xy+yz+xz}\ge3.\sqrt[3]{xyz}\left(doxy+yz+xz\le1\right)\)
ta giả sử:
\(3\sqrt[3]{xyz}\ge\sqrt{3}\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\right)\Leftrightarrow\sqrt{3}\ge\frac{3}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\) mà \(\sqrt{3}>\frac{3}{2}\)
suy ra \(\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\)(luôn đúng) suy ra điều giả sử trên là đúng
hay \(3\sqrt[3]{xyz}\ge\sqrt{3}\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\right)\)
mà \(\frac{x+y+z}{xy+yz+xz}\ge3.\sqrt[3]{xyz}\),\(\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[3-\left(2xy+z^2+2yz+x^2+2xz+y^2\right)]\)\(\le\sqrt{3}\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}.\sqrt[3]{xyz^2}\right)\)
suy ra \(\frac{x+y+z}{xy+yz+xz}\ge\)\(\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[3-\left(2xy+z^2+2yz+x^2+2xz+y^2\right)]\)
suy ra \(\frac{x+y+z}{xy+yz+xz}\ge\)\(\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2]\)(đpcm)
em mới có lớp 8, nếu em làm sai cho em xin lỗi nha anh
22 tháng 5 2019
Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :
x4 + yz \(\ge\)\(2\sqrt{x^4yz}=2x^2\sqrt{yz}\); \(y^4+xz\ge2y^2\sqrt{xz}\); \(z^4+xy\ge2z^2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{2y^2\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{2z^2\sqrt{xy}}=\frac{1}{2\sqrt{yz}}+\frac{1}{2\sqrt{xz}}+\frac{1}{2\sqrt{xy}}\)
CM : x + y + z \(\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
\(\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}.\frac{yz+xz+xy}{xyz}=\frac{1}{2}.\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)
KN
31 tháng 5 2020
Áp dụng BĐT Cauchy cho các cặp số dương, ta có: \(\Sigma\frac{x^2}{x^4+yz}\le\Sigma\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\Sigma\frac{1}{2\sqrt{yz}}\)
\(\le\frac{1}{4}\Sigma\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\le\frac{1}{2}.\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=\frac{1}{2}.\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1