Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Khi x = y = z = 1 thì B = 5 do đó nếu ta chứng minh được B > 5 thì đây cũng chính là giá trị nhỏ nhất của B.
Viết B lại dưới dạng thuần nhất ta được : \(B=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{9y}{x+y+z}\)
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \(B\ge\frac{\left(x+z+3y\right)^2}{zx+yz+y\left(x+y+z\right)}\)
Cần chứng minh \(\left(x+z+3y\right)^2\ge5\left[zx+yz+y\left(x+y+z\right)\right]\) (*)
Đã có x > y > z nên tồn tại 2 số thực m,n không âm sao cho m = a + z ; n = b + z
Thay m,n vào (*) ta được kết quả thu gọn là a2 + ab + 4b2 + 5bz > 0
Do đó P = 5 đạt GTNN
Ta có : \(x\ge y\ge z\)\(\Rightarrow\frac{x}{z}\ge\frac{x}{y}\Rightarrow B\ge\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+3y=\frac{3-y}{y}+3y=\frac{3}{y}+3y-1\ge2.\sqrt{\frac{3}{y}.3y}-1=5\)
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+3y=5\\x+y+z=3\\\frac{3}{y}=3y\end{cases}\)\(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy Min B = 5 <=> x = y = z = 1.
Ta làm đơn giản như thế này nhé Ngọc :)
Do \(x\ge y\ge z>0\) nên \(\frac{x}{z}\ge\frac{x}{y}\)
Vậy \(B\ge\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+3y=\frac{3-y}{y}+3y=\frac{3}{y}+3y-1\ge2\sqrt{\frac{3}{y}.3y}-1=5\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{3}{y}=y\\y=z\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\\z=1\end{cases}}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM, ta được \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x+y+z}{2}=3\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2
Vậy minP = 3 tại (x,y,z) = (2,2,2)
Ta có : \(S=x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\)
\(=\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}\right)+\left(\frac{1}{2}y+\frac{2}{y}\right)+\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y\right)\)
\(=\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}\right)+\left(\frac{1}{2}y+\frac{2}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{1}{2}x\cdot\frac{1}{2x}}+2\sqrt{\frac{1}{2}y\cdot\frac{2}{y}}+\frac{1}{2}\cdot3\)( áp dụng bđt AM-GM và giả thiết x + y ≥ 3 )
\(=1+2+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = 1 , y = 2
Vậy MinS = 9/2, đạt được khi x = 1 , y = 2
\(A=x+y+\frac{6}{x}+2011\)
\(\Leftrightarrow3A=\left(x+3y\right)+\left(2x+\frac{18}{x}\right)+6033\)(1)
ta có \(x+3y\ge6\left(gt\right)\)(2)
\(2x+\frac{18}{x}\ge2\sqrt{2x\cdot\frac{18}{x}}=2\cdot6=12\)( theo bất đẳng thức cô si cho các số dương) (3)
từ (1), (2) và (3)
\(\Rightarrow3A\ge6+12+6033=6051\)
\(\Rightarrow A\ge2017\)
vậy min A=2017
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+3y=6\\2x=\frac{18}{x}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6-3y\\2x^2=18\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6-3y\\x^2=9\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6-3y\\x=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6-3y=3\\x=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x=3\end{cases}}}}\)(vì x>0)
vậy ......