MM
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TD
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2017
Lời giải:
Ta có: \(A=\frac{3}{x^2+y^2}+\frac{4}{xy}=3\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{5}{2xy}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{(x+y)^2}=4\)
Áp dụng BĐT Am-Gm: \(xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{5}{2xy}\geq 10\)
Do đó: \(A\geq 3.4+10\Leftrightarrow A\geq 22\)
Vậy \(A_{\min}=22\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
2 tháng 11 2018
\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}+4xy=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{4xy}+4xy+\dfrac{5}{4xy}\)Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\left(a,b>0\right)\)(bn tự cm BĐT này) và BĐT cauchy ta có:
\(A\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}+2\sqrt{\dfrac{1}{4xy}.4xy}+\dfrac{5}{\left(x+y\right)^2}\)=
\(=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+2+\dfrac{5}{\left(x+y\right)^2}\ge4+2+5=11\)(vì x+y\(\le\)1)
Vậy Min A = 11 \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
TT
Cho x,y > 0. Tìm GTNN của:
a) x2 + y2 + \(\dfrac{1}{xy}\) với x + y = 2
b) x + y + \(\dfrac{1}{xy}\)
1
KB
16 tháng 2 2019
a ) Áp dụng BĐT Cô-si với 2 số x ; y > 0 , ta có :
\(x^2+y^2+\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}+\dfrac{1}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{2^2}{2}+\dfrac{1}{\dfrac{2^2}{4}}=2+1=3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
Vậy ...
b ) Áp dụng BĐT Cô-si với 2 số x ; y > 0 , ta có :
\(x+y+\dfrac{1}{xy}\ge3\sqrt[3]{xy.\dfrac{1}{xy}}=3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{xy}\)
\(\Leftrightarrow x^2y=y^2x=1\)
\(\Leftrightarrow x^3y^3=1\Leftrightarrow xy=1\left(x;y>0\right)\)
\(\Leftrightarrow x=y=1\)
Vậy ...
MT
1
19 tháng 3 2017
cái này giống này - Here. Mỗi tội bài này Min=22 khi x=y=1/2
5 tháng 8 2016
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
5 tháng 8 2016
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
TT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 5 2018
Lời giải:
Ta có \(B=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+xy+y^2}=\frac{8}{9}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{xy}{x^2+xy+y^2}\)
\(=\frac{8}{9}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{x^2+xy+y^2}{9xy}+\frac{xy}{x^2+xy+y^2}-\frac{1}{9}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\)
\(\frac{x^2+xy+y^2}{9xy}+\frac{xy}{x^2+xy+y^2}\geq 2\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{2}{3}\)
Do đó: \(B\geq \frac{8}{9}.2+\frac{2}{3}-\frac{1}{9}=\frac{7}{3}\Leftrightarrow B_{\min}=\frac{7}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi $x=y$
VT
1
5 tháng 6 2018
\(P=\dfrac{1}{2\left(x^2+y^2\right)}+\dfrac{4}{xy}+2xy\)
\(\Leftrightarrow2P=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{8}{xy}+4xy\)
\(\Leftrightarrow2P=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{4xy}+4xy+\dfrac{29}{4xy}\)
Áp dụng BĐT AM - GM , ta có :
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{4xy}+4xy+\dfrac{29}{4xy}\ge\dfrac{2}{\sqrt{\left(x^2+y^2\right)2xy}}+2\sqrt{\dfrac{1}{4xy}.4xy}+\dfrac{29}{4xy}\)
\(\Leftrightarrow2P\ge\)\(\dfrac{2}{\sqrt{\left(x^2+y^2\right)2xy}}+2+\dfrac{29}{4xy}\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+2+\dfrac{29}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow2P\ge2+4+29=35\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{35}{2}\)
\(\Rightarrow P_{Min}=\dfrac{35}{2}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
Ta có x2+y2 / x-y = x2-2xy+y2+2xy / x-y
= (x-y)2+2xy / x-y
Mà xy = 1 => 2xy = 2. Thay vào, ta có
(x-y)2+2xy / x-y = (x-y)2+2 / x-y = (x-y)2 / x-y + 2 / x-y
= x-y + 2 / x-y
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có
x-y + 2 / x-y ≥ 2.√(x-y).2 / x-y] = 2.√2 = (√2)3
Vậy Min A = (√2)3