Question

[Nguyễn Đông Nghi]

Cho tổng A=2 + \(2^2\)+ \(2^3\)+\(2^4\)+\(2^5\)+\(2^6\)+\(2^7\)+\(2^8\)+\(2^9\)+\(2^{10}\)+\(2^{11}\)+\(2^{12}\)

tổng trên có chia hết cho 2;5;7 hay không?

Answer 1

[thánh nô]

Ta có : 

A = 2 + 2 ² + 2 ³ + 2 ⁴ + 2 ⁵ + 2 ⁶ + 2 ⁷ + 2 ⁸ + 2 ⁹ + 2 ¹⁰ + 2 ¹¹ + 2 ¹²

    = ( 2 + 2 ² ) + ( 2 ³ + 2 ⁴ ) + ( 2 ⁵ + 2 ⁶ ) + ( 2 ⁷ + 2 ⁸ ) + ( 2 ⁹ + 2 ¹⁰ ) + ( 2 ¹¹ + 2 ¹² )

   = 2 ( 1 + 2 ) + 2 ³ ( 1 + 2 ) + 2 ⁵ ( 1 + 2 ) + 2 ⁷ (1 + 2 ) + 2 ⁹ (1 + 2 ) + 2 ¹¹ ( 1 + 2 )

   = 2 .3 + 2 ³ .3 + 2 ⁵ .3 + 2 ⁷ .3 + 2 ⁹ .3 + 2 ¹¹ .3

   =  ( 2 + 2 ³ + 2 ⁵ + 2 ⁷ + 2 ⁹ + 2 ¹¹ ).3 chia hết cho 3

Ta lại có :

A = 2 + 2 ² + 2 ³ + 2 ⁴ + 2 ⁵ + 2 ⁶ + 2 ⁷ + 2 ⁸ + 2 ⁹ + 2 ¹⁰ + 2 ¹¹ + 2 ¹²

    = ( 2 + 2 ² + 2 ³ ) + ( 2 ⁴ + 2 ⁵ + 2 ⁶ ) + ( 2 ⁷ + 2 ⁸ +  2 ⁹ ) + ( 2 ¹⁰ + 2 ¹¹ + 2 ¹² )

   = 2 ( 1 + 2 + 2 ² ) + 2 ⁴ ( 1 + 2 + 2 ² )  + 2 ⁷ (1 + 2 + 2 ² )  + 2 ¹⁰ ( 1 + 2 + 2 ²)

   = 2 .7 + 2 ⁴ .7 + 2 ⁷ .7 + 2 ¹⁰ .7

   =  ( 2 + 2 ⁴  + 2 ⁷ +  2 ¹⁰ ).7 chia hết cho 7

Ta lại có :

A = 2 + 2 ² + 2 ³ + 2 ⁴ + 2 ⁵ + 2 ⁶ + 2 ⁷ + 2 ⁸ + 2 ⁹ + 2 ¹⁰ + 2 ¹¹ + 2 ¹²

    = ( 2 + 2 ² + 2 ³ +  2 ⁴ ) + ( 2 ⁵ + 2 ⁶ + 2 ⁷ + 2 ⁸ ) + ( 2 ⁹ + 2 ¹⁰ + 2 ¹¹ + 2 ¹² )

   = 2 ( 1 + 2 + 2 ² + 2 ³ ) + 2 ⁵ ( 1 + 2 + 2 ² + 2 ³)  + 2 ⁹ (1 + 2 + 2 ² + 2 ³)  

   = 2 .15 + 2 ⁵ .15 + 2 ⁹ .15

   =  ( 2 + 2 ⁵  + 2 ⁹ ). 15 chia hết cho 5 ( vì 15 chia hết cho 5 )