Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}=k\)
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}x=zk\\z=yk\end{matrix}\right.\)
Khi đó
\(\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}=\frac{\left(zk\right)^2+\left(yk\right)^2}{y^2+z^2}=\frac{k^2z^2+k^2y^2}{y^2+z^2}=\frac{k^2\left(z^2+y^2\right)}{y^2+z^2}=k^2\)
\(\frac{x}{y}=\frac{zk}{y}=\frac{ykk}{y}=k^2\)
Do đó \(\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}=\frac{x}{y}\left(=k^2\right)\)
Giải:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x}{y+z+1}=\frac{y}{x+z+1}=\frac{z}{x+y-2}=\frac{x+y+z}{y+z+1+x+z+1+x+y-2}=\frac{x+y+z}{2x+2y+2z}=\frac{x+y+z}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x+y+z=1\)
Xét \(\frac{x}{y+z+1}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2x=y+z+1\)
\(\Rightarrow3x=x+y+z+1\)
\(\Rightarrow3x=1+1\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{3}\)
Xét \(\frac{y}{x+z+1}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2y=x+z+1\)
\(\Rightarrow3y=x+y+z+1\)
\(\Rightarrow3y=1+1\)
\(\Rightarrow y=\frac{2}{3}\)
Xét \(\frac{z}{x+y-2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2z=x+y-2\)
\(\Rightarrow3z=x+y+z-2\)
\(\Rightarrow3z=1-2\)
\(\Rightarrow z=\frac{-1}{3}\)
Từ đó \(\frac{x+y}{z+1}=\frac{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{\frac{-1}{3}+1}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{4}{2}=2\)
Vậy \(\frac{x+y}{z+1}=2\)
Ta có:
\(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x}{z}\right)^2=\left(\frac{z}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{z^2}=\frac{z^2}{y^2}\)
Áp dụng tích chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\frac{x^2}{z^2}=\frac{z^2}{y^2}=\frac{x^2+z^2}{z^2+y^2}\left(1\right)\)
Mà \(\frac{x^2}{z^2}=\frac{x}{z}.\frac{x}{z}=\frac{x}{z}.\frac{z}{y}=\frac{x}{y}\left(2\right)\) (vì \(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\))
Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)suy ra:
\(\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}=\frac{x}{y}\)
Vậy với \(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\)thì \(\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}=\frac{x}{y}\)
Ta có: \(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\)=>\(z^2=xy\)
Thay \(z^2=xy\) vào \(\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}=\frac{x^2+xy}{y^2+xy}=\frac{x\cdot\left(x+y\right)}{y\cdot\left(y+x\right)}=\frac{x}{y}\)(điều phải chứng minh)
=>z^2=xy(t/c)
=>x/y=x(x+y)/y(x+y)
=(x^2+xy)/(y^2+xy))
=(x^2+z^2)/(y^2+z^2)
\(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x}{z}\right)^2=\left(\frac{z}{y}\right)^2=\frac{x.z}{z.y}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{z^2}=\frac{z^2}{y^2}=\frac{x}{y}\)(Do loại bỏ z trên tử + dưới mấy nên còn x/y)
\(\Rightarrow\frac{x^2+z^2}{z^2+y^2}=\frac{x}{y}\)
Vậy \(\frac{x^2+z^2}{z^2+y^2}=\frac{x}{y}\)
1)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{8}=\frac{y}{12}=\frac{z}{15}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{x}{8}=\frac{y}{12}=\frac{z}{15}=\frac{x+y-z}{8+12-15}=\frac{10}{5}=2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{8}=2\Rightarrow x=16\\\frac{y}{12}=2\Rightarrow x=24\\\frac{z}{15}=2\Rightarrow z=30\end{matrix}\right.\)
2)
Đặt \(\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=k\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2k\\y=5k\end{matrix}\right.\)
xy=10 <=> 2k.5k=10
<=>10k2=10
<=> k=1
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=5\end{matrix}\right.\)
3)
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow ad=bc\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(c-d\right)=\left(c+d\right)\left(a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\) (đpcm)
\(\frac{x}{y+z+1}\)= \(\frac{y}{x+z+1}\)= \(\frac{z}{x+y-2}\)= \(\frac{x+y+z}{y+z+1+x+z+1+x+y-1}\)
= \(\frac{x+y+z}{2x+2y+2z}\)= \(\frac{x+y+z}{2\left(x+y+z\right)}\)= \(\frac{1}{2}\)
=> \(\frac{z}{x+y-2}\)= \(\frac{1}{2}\)= \(\frac{z+1}{x+y-2+2}\)= \(\frac{z+1}{x+y}\)
=> \(\frac{z+1}{x+y}\)= \(\frac{1}{2}\)=> \(\frac{x+y}{z+1}\)= 2
Có\(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\)⇒\(xy=\text{x}^{2}\)
⇒\(\frac{\text{x}^{2}+\text{z}^{2}}{\text{y}^{2}+\text{z}^{2}}\)=\(\frac{\text{x}^{2}+xy}{\text{y}^{2}+xy}\)=\(\frac{x(x+y)}{y(x+y)}\)=\(\frac{x}{y}\)
⇒\(\frac{\text{x}^{2}+\text{z}^{2}}{\text{y}^{2}+\text{z}^{2}}\)=\(\frac{x}{y}\)
Vậy \(\frac{\text{x}^{2}+\text{z}^{2}}{\text{y}^{2}+\text{z}^{2}}\)=\(\frac{x}{y}\)
giải hộ nhá