Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x}{z}\right)^2=\left(\frac{z}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{z^2}=\frac{z^2}{y^2}\)
Áp dụng tích chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\frac{x^2}{z^2}=\frac{z^2}{y^2}=\frac{x^2+z^2}{z^2+y^2}\left(1\right)\)
Mà \(\frac{x^2}{z^2}=\frac{x}{z}.\frac{x}{z}=\frac{x}{z}.\frac{z}{y}=\frac{x}{y}\left(2\right)\) (vì \(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\))
Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)suy ra:
\(\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}=\frac{x}{y}\)
Vậy với \(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\)thì \(\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}=\frac{x}{y}\)
Có\(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\)⇒\(xy=\text{x}^{2}\)
⇒\(\frac{\text{x}^{2}+\text{z}^{2}}{\text{y}^{2}+\text{z}^{2}}\)=\(\frac{\text{x}^{2}+xy}{\text{y}^{2}+xy}\)=\(\frac{x(x+y)}{y(x+y)}\)=\(\frac{x}{y}\)
⇒\(\frac{\text{x}^{2}+\text{z}^{2}}{\text{y}^{2}+\text{z}^{2}}\)=\(\frac{x}{y}\)
Vậy \(\frac{\text{x}^{2}+\text{z}^{2}}{\text{y}^{2}+\text{z}^{2}}\)=\(\frac{x}{y}\)
A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x + y)(x + 4y). (x + 2y)(x + 3y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4
= (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 – y2 ) + y4
= (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4
= (x2 + 5xy + 5y2 )2
Do x , y Z nên x2 + 5xy + 5y2 Z rròi nè **** đi
\(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x}{z}\right)^2=\left(\frac{z}{y}\right)^2=\frac{x.z}{z.y}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{z^2}=\frac{z^2}{y^2}=\frac{x}{y}\)(Do loại bỏ z trên tử + dưới mấy nên còn x/y)
\(\Rightarrow\frac{x^2+z^2}{z^2+y^2}=\frac{x}{y}\)
Vậy \(\frac{x^2+z^2}{z^2+y^2}=\frac{x}{y}\)
Ta có
\(\frac{x+y}{x+y+z}>\frac{x+y}{x+y+z+t};\frac{y+z}{y+z+t}>\frac{y+z}{x+y+z+t};\frac{z+t}{z+t+x}>\frac{z+t}{x+y+z+t};\frac{t+x}{t+x+y}>\frac{t+x}{x+y+z+t}\)
\(\Rightarrow LHS>2\) ( điều phải chứng minh )
Cho các số nguyên dương x, y, z. Chứng minh rằng:
\(1< \frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< 2\)
Với x, y, z nguyên dương
Ta có: \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\)
\(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z}\)
\(\frac{z}{z+x}>\frac{z}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)(1)
Mặt khác \(\frac{x}{x+y}< 1\Rightarrow\frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}\)
\(\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{x+y+z}\)
\(\frac{z}{z+x}< \frac{z+y}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< 2\)(2)
Từ (1) và (2) => dpcm
Có : x/x+y ; y/y+z ; z/z+x đều > 0
=> x/z+y + y/y+z + z/z+x > x/x+y+z + y/x+y+z + z/x+y+z = x+y+z/x+y+z = 1 (1)
Lại có : x,y,z > 0
=> 0 < x/x+y ; y/y+z ; z/z+x < 1
=> x/x+y + y/y+z + z/z+x < x+z/x+y+z + y+x/x+y+z + z+y/x+y+z = x+z+y+x+z+y/x+y+z = 2 (2)
Từ (1) và (2) => ĐPCM
Tk mk nha
Ta có: \(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\)=>\(z^2=xy\)
Thay \(z^2=xy\) vào \(\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}=\frac{x^2+xy}{y^2+xy}=\frac{x\cdot\left(x+y\right)}{y\cdot\left(y+x\right)}=\frac{x}{y}\)(điều phải chứng minh)
=>z^2=xy(t/c)
=>x/y=x(x+y)/y(x+y)
=(x^2+xy)/(y^2+xy))
=(x^2+z^2)/(y^2+z^2)