Câu hỏi của Phạm Thu Ngân

Question

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. H là trung điểm cạnh BC. M là điểm nằm giữa B và H. Vẽ MD vuông góc AB tại D, ME vuông góc AC tại E. Chứng minh rằng:

a)AH vuông góc BC b) AD=CE, B...

Vũ Minh Tuấn · Accepted Answer

a) Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $A\left(gt\right)$

=> $AB=AC$ (tính chất tam giác vuông cân).

Xét 2 $\Delta$ $ABH$ và $ACH$ có:

$AB=AC\left(cmt\right)$

$BH=CH$ (vì $H$ là trung điểm của $BC$)

Cạnh AH chung

=> $\Delta ABH=\Delta ACH\left(c-c-c\right)$

=> $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}$ (2 góc tương ứng).

Ta có: $\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0$ (vì 2 góc kề bù).

Mà $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(cmt\right)$

=> $2.\widehat{AHB}=180^0$

=> $\widehat{AHB}=180^0:2$

=> $\widehat{AHB}=90^0.$

=> $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0$

=> $AH\perp BC.$

b) Vì:

$\left\{{}\begin{matrix}AB\perp AC\left(gt\right)\ME\perp AC\left(gt\right)\end{matrix}\right.$

=> $AB$ // $ME$ (từ vuông góc đến song song).

Hay $AD$ // $ME.$

=> $\widehat{DAM}=\widehat{EMA}$ (vì 2 góc so le trong).

+ Vì:

$\left\{{}\begin{matrix}AB\perp AC\left(gt\right)\MD\perp AB\left(gt\right)\end{matrix}\right.$

=> $AC$ // $MD$ (từ vuông góc đến song song).

Hay $AE$ // $MD.$

=> $\widehat{EAM}=\widehat{DMA}$ (vì 2 góc so le trong).

Xét 2 $\Delta$ $ADM$ và $MEA$ có:

$\widehat{DAM}=\widehat{EMA}\left(cmt\right)$

Cạnh AM chung

$\widehat{DMA}=\widehat{EAM}\left(cmt\right)$

=> $\Delta ADM=\Delta MEA\left(g-c-g\right)$

=> $DM=AE$ (2 cạnh tương ứng) (1).

+ Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $A\left(gt\right)$

=> $\widehat{B}=45^0$ (tính chất tam giác vuông cân).

+ Xét $\Delta BDM$ vuông tại $D\left(gt\right)$ có:

$\widehat{B}=45^0\left(cmt\right)$

=> $\Delta BDM$ vuông cân tại $D.$

=> $BD=DM$ (tính chất tam giác vuông cân) (2).

Từ (1) và (2) => $BD=AE.$

Ta có:

$\left\{{}\begin{matrix}BD+AD=AB\AE+CE=AC\end{matrix}\right.$

Mà $\left\{{}\begin{matrix}BD=AE\left(cmt\right)\AB=AC\left(cmt\right)\end{matrix}\right.$

=> $AD=CE\left(đpcm\right).$

Chúc bạn học tốt!

Câu trả lời: