Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ABCOMNHE
a) Do M, N thuộc đường tròn đường kính BC nên \(\widehat{BMC}=\widehat{BNC}=90^o\Rightarrow BN\perp AC;CM\perp AB\)
Xét tam giác ABC có BN và CM là hai đường cao nên H là trực tâm, vậy thì AH cũng là đường cao của tam giác hay \(AH\perp BC\)
b) Do AMH và ANH là các tam giác vuông có chung cạnh huyền AH nên AMHN là tứ giác nội tiếp đường tròng tâm E, bán kính EH. Vậy thì \(\widehat{MHE}=\widehat{MNA}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
Lại có EM = EH nên \(\widehat{MHE}=\widehat{HME}\)
Vậy nên \(\widehat{HME}=\widehat{MNA}\) (1)
Lại có do OM = OC nên \(\widehat{OMC}=\widehat{OCM}\) mà \(\widehat{OCM}=\widehat{BNM}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
Vậy nên \(\widehat{OMC}=\widehat{BNM}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{HME}+\widehat{OMC}=\widehat{MNA}+\widehat{MNB}\Rightarrow\widehat{EMO}=\widehat{ANH}=90^o\)
Vậy ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Xét tam giác MEO và NEO có: Cạnh EO chung, EM = EN, OM = ON
\(\Rightarrow\Delta MEO=\Delta NEO\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow S_{MEO}=S_{NEO}\Rightarrow S_{MEO}=\frac{1}{2}S_{MENO}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}ME.MO=\frac{1}{4}.MN.EO\Rightarrow MN.OE=2ME.MO\)
c) Do tứ giác AMHN nội tiếp nên \(\widehat{MAH}=\widehat{MNH}\)
Mà \(\widehat{MCB}=\widehat{MNH}\Rightarrow\widehat{MAH}=\widehat{MCB}\)
Vậy thì \(\Delta AMH\sim\Delta CMB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{CM}{AM}=\frac{CB}{AH}=1\)
Lại có xét tam giác vuông AMC, \(tan\widehat{BAC}=\frac{MC}{AM}=1.\)
AH = BC => tam giác MBC =MHA ( tự cm)
=> BMH vuông cân tại M => NBA = BAN = 45
=>...
Lời giải:
a. Ta có:
$\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn - cung BC)
$\Rightarrow BN\perp AC, CM\perp AB$
Tam giác $ABC$ có 2 đường cao $BN, CM$ cắt nhau tại $H$ nên $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
b. Gọi $D$ là giao của $AH$ và $BC$. Do $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên $AH\perp BC$ tại $D$.
Tam giác $BMC$ vuông tại $M$
$\Rightarrow$ trung tuyến $MO= \frac{BC}{2}=BO$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền)
$\Rightarrow BOM$ là tam giác cân tại $O$
$\Rightarrow \widehat{OMB}=\widehat{OBM}=90^0-\widehat{BCM}$
$=90^0-\widehat{DCH}=\widehat{MHA}=\widehat{MHE}(1)$
$CM\perp AB$ nên $AMH$ là tam giác vuông tại $M$
$\Rightarrow ME=\frac{AH}{2}=EH$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền)
$\Rightarrow MEH$ cân tại $E$
$\Rightarrow \widehat{MHE}=\widehat{EMH}(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow \widehat{OMB}=\widehat{EMH}$
$\Rightarrow \widehat{OMB}+\widehat{OMC}=\widehat{EMH}+\widehat{OMC}$
$\Rightarrow \widehat{BMC}=\widehat{EMO}$
$\Rightarrow \widehat{EMO}=90^0$
$\Rightarrow EM\perp MO$ nên $EM$ là tiếp tuyến $(O)$
c.
Ta có:
$EM=\frac{AH}{2}=EN$
$OM=ON$
$\Rightarrow EO$ là trung trực của $MN$
Gọi $T$ là giao điểm $EO, MN$ thì $EO\perp MN$ tại $T$ và $T$ là trung điểm $MN$.
Xét tam giác $EMO$ vuông tại $M$ có $MT\perp EO$ thì:
$ME.MO = MT.EO = \frac{MN}{2}.EO$
$\Rightarrow 2ME.MO = MN.EO$
a: Xét (O) có
ΔBMC nội tiếp đường tròn
BC là đường kính
Do đó: ΔBMC vuông tại M
Xét (O) có
ΔBNC nội tiếp đường tròn
BC là đường kính
Do đó: ΔBNC vuông tại N
Xét ΔBAC có
BN là đường cao ứng với cạnh huyền AC
CM là đường cao ứng với cạnh huyền AB
BN cắt CM tại H
Do đó: AH⊥BC
a: Xét (O) có
ΔBMC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBMC vuông tại M
Xét (O) có
ΔBNC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBNC vuông tại N
Xét ΔABC có
BN.CM là các đường cao
BN cắt CM tại H
DO đó; H là trực tâm
=>AH vuông góc với BC
b: góc EMO=góc EMH+góc OMH
=góc EHM+góc OCM
=90 độ-góc BAH+góc BCM=90 độ
=>EM là tiếp tuyến của (O)
J A B C O E D H K M N
a) Xét hai tam giác ABD và ACE có:
\(\widehat{A}\) chung
\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta ABD\sim\Delta ACE\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}\Rightarrow AD.AC=AE.AB\)
b) Xét tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao nên H là trực tâm. Vậy thì AH vuông góc với BC tại K.
c) Ta thấy AMO; AKO; ANO là các tam giác vuông có chung cạnh huyền AO nên A, M, K, O, N cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
Khi đó \(\widehat{AKN}=\widehat{AMN}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
Lại có AM = AN nên \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)
Suy ra \(\widehat{AKN}=\widehat{ANM}\)
d) Gọi J là giao điểm của MN với AO.
Xét tam giác vuông ANO, đường cao NJ, ta có:
\(AJ.AO=AN^2\) (Hệ thức lượng)
Lại có \(\Delta AHJ\sim\Delta AOK\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AO}=\frac{AJ}{AK}\)
\(\Rightarrow AJ.AO=AH.AK\)
\(\Rightarrow AN^2=AH.AK\)
\(\Rightarrow\Delta AHN\sim\Delta ANK\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{ANH}=\widehat{AKN}\)
Mà \(\widehat{AKN}=\widehat{ANM}\Rightarrow\widehat{ANH}=\widehat{ANM}\) hay M, N, H thẳng hàng.
Hoàng Thị Thu Huyền ơi ngộ nhận kìa. ý d đang chứng minh thẳng hàng mà bạn có 2 cái tam giác AHJ và AOK đồng dạng (g g) thì sao được ??
Câu hỏi của Nhóc vậy - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo câu tương tự tại đây.
Với câu c, ta thấy \(sin\widehat{BAC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\widehat{BAC}=45^o\Rightarrow tan\widehat{BAC}=1\Rightarrow\frac{BC}{AH}=1\)
Vậy AH = BC.
B M A E H O I C
b) Ta có : EA = EH ( gt )
Xét : tam giác MHA vuông tại M . có ME là trung tuyến
\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}AH\Rightarrow ME=EH\)
\(\Rightarrow\Delta MEH\)cân tại E
\(\Rightarrow\widehat{EMH}=\widehat{H_1}\left(1\right)\)
Ta lại có : \(OM=OC\left(=bk\right)\Rightarrow\Delta OMC\)cân tại O
\(\widehat{OMC}=\widehat{OCM}\left(2\right)\)
Mặt khác : Tam giác IHC vuông tại I => \(\widehat{ICM}+\widehat{H_1}=90^o\)
mà \(\widehat{H_1}=\widehat{H_2}\)( đối đỉnh ) \(\Rightarrow\widehat{ICM}+\widehat{H_2}=90^o\left(3\right)\)
Từ (1)(2) và (3) => \(\widehat{OMC}+\widehat{EHM}=90^o\)
mà \(\widehat{OME}=\widehat{OMC}+\widehat{EHM}=90^o\)
\(\Rightarrow ME\perp OM\)tại M
Vậy : ME là tiếp tuyến của đường tròn tâm O ( đpcm )