Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
(a)
Vì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác ta có:
\(\left\{\begin{matrix} a+b>c\\ b+c>a\\ c+a>b\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c(a+b)>c^2\\ a(b+c)>a^2\\ b(c+a)>b^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow c(a+b)+a(b+c)+b(c+a)> c^2+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)> a^2+b^2+c^2\)
Ta có đpcm.
(2): Bài này có nhiều cách giải. Nhưng mình xin đưa ra cách làm thuần túy Cô-si nhất.
Đặt
\((a+b-c, b+c-a, c+a-b)=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=(\frac{x+z}{2}; \frac{x+y}{2}; \frac{y+z}{2})\)
Khi đó:
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x}\)
\(=\frac{x}{2y}+\frac{z}{2y}+\frac{x}{2z}+\frac{y}{2z}+\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}\geq 6\sqrt[6]{\frac{1}{2^6}}=3\) (áp dụng BĐT Cô-si)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$
(c):
Theo BĐT tam giác:
\(b+c>a\Rightarrow 2(b+c)> b+c+a\Rightarrow b+c> \frac{a+b+c}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
Hoàn toàn tương tự với những phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)
Ta có đpcm.
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6\sqrt[6]{a^2.b^2.c^2.d^2.ab.cd}=6\sqrt[6]{(abcd)^3}=6\sqrt[6]{1^3}=6\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a^2=b^2=c^2=d^2=ab=cd\\ abcd=1\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c=d=1\)
CM:$(b+c)(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})< \frac{(a+d)^{2}}{ad}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
\(A=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{bc}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{ca}\)
\(B=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
..................................
\(A=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}+\dfrac{b^2-2ab+c^2}{bc}+c^2+a^2-\dfrac{2ca}{ca}\)
\(A=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}-2\right)+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}-2\right)=\dfrac{\left(b+c\right)}{a}+\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{a+b}{c}-6\)
\(A=\left[\dfrac{\left(b+c\right)}{a}+1\right]+\left[\dfrac{\left(a+c\right)}{b}+1\right]+\left[\dfrac{\left(a+b\right)}{c}+1\right]-9\)
\(A=\dfrac{\left(a+b+c\right)}{a}+\dfrac{\left(a+b+c\right)}{b}+\left[\dfrac{\left(a+b+c\right)}{c}\right]-9\)
\(A=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)-9\)
Ket luan
\(A\ne B\) => đề sai--> hoặc mình công trừ sai
Từ \(\dfrac{a-\left(c-b\right)}{b-c}+\dfrac{b-\left(a-c\right)}{c-a}+\dfrac{c-\left(b-a\right)}{a-b}=3\)
\(=>\dfrac{a}{b-c}+1+\dfrac{b}{c-a}+1+\dfrac{c}{a-b}+1=3\)
\(=>\dfrac{a}{b-c}-\dfrac{b}{a-c}-\dfrac{c}{b-a}=0\)
\(=>\dfrac{a}{b-c}=\dfrac{b}{a-c}+\dfrac{c}{b-a}=\dfrac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)
Nhân cả 2 vế với \(\dfrac{1}{b-c}\) ta được
\(\dfrac{a}{\left(b-c\right)^2}=\dfrac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\dfrac{b}{\left(c-a\right)^2}=\dfrac{c^2-bc+bc-a^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(2\right)\)
\(\dfrac{c}{\left(a-b\right)^2}=\dfrac{a^2-ca+cb-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(3\right)\)
Cộng theo vế (1);(2);(3) ta có ĐPCM
CHÚC BẠN HỌC TỐT.........
d) \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\) \(\ge\) \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
<=> \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\) \(\ge\) \(\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\)
<=> 4(a2 + b2 ) \(\ge\) 2 ( a2 + 2ab + b2 )
<=> 4a2 + 4b2 \(\ge\) 2a2 + 4ab +2b2
<=> 4a2 + 4b2 - 2a2 - 4ab - 2b2 \(\ge\) 0
<=> 2a2 - 4ab + 2b2 \(\ge\) 0
<=> a2 -2ab +b2 \(\ge\) 0
<=> (a-b)2 \(\ge\) 0 ( luôn đúng)
=> \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\) \(\ge\) \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
Và dấu bằng xảy ra <=> a = b
e) Làm tương tự nhé! Có gì ko hiểu thì hỏi lại mk! Ok??
Đặt a/b=c/d=k
=>a=bk; c=dk
\(\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\left(\dfrac{bk+b}{dk+d}\right)^2=\dfrac{b^2}{d^2}\)
\(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{b^2k^2+b^2}{d^2k^2+d^2}=\dfrac{b^2}{d^2}\)
Do đó: \(\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)
ab−c−ba−c−cb−a=0=>ab−c−ba−c−cb−a=0
=>ab−c=ba−c+cb−a=b2−ab+ac−c2(c−a)(a−b)=>ab−c=ba−c+cb−a=b2−ab+ac−c2(c−a)(a−b)
Nhân cả 2 vế với 1b−c1b−c ta được
a(b−c)2=b2−ab+ac−c2(a−b)(b−c)(c−a)(1)a(b−c)2=b2−ab+ac−c2(a−b)(b−c)(c−a)(1)
Tương tự ta có:
b(c−a)2=c2−bc+bc−a2(a−b)(b−c)(c−a)(2)b(c−a)2=c2−bc+bc−a2(a−b)(b−c)(c−a)(2)
c(a−b)2=a2−ca+cb−c2(a−b)(b−c)(c−a)(3)c(a−b)2=a2−ca+cb−c2(a−b)(b−c)(c−a)(3)
Cộng theo vế (1);(2);(3) ta có ĐPCM
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\Rightarrow \frac{a}{b-c}=\frac{-b}{c-a}+\frac{-c}{a-b}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{b-c}=\frac{-b(a-b)-c(c-a)}{(a-b)(c-a)}=\frac{b^2+ca-c^2-ab}{(a-b)(c-a)}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{(b-c)^2}=\frac{b^2+ca-c^2-ab}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{b}{(c-a)^2}=\frac{c^2+ab-a^2-bc}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
\(\frac{c}{(a-b)^2}=\frac{a^2+bc-b^2-ac}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
Cộng theo vế các đẳng thức vừa thu được ta có:
\(\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=\frac{b^2+ac-c^2-ab+c^2+ab-a^2-bc+a^2+bc-b^2-ac}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0\)
Ta có đpcm.
a.
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+ab^3+a^3b+b^4\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge ab^3+a^3b\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(*)
Mà \(a^2+ab+b^2=\left(a^2+2\cdot a\cdot\dfrac{1}{2}b+\dfrac{b^2}{4}\right)+\dfrac{3b^2}{4}=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\)
Suy ra (*) đúng => đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a = b
b.
\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Leftrightarrow3a^4+3b^4+3c^4\ge a^4+ab^3+ac^3+a^3b+b^4+bc^3+a^3c+b^3c+c^4\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4+2c^4\ge ab^3+a^3b+b^3c+bc^3+ca^3+c^3a\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4+b^4\right)+\left(b^4+c^4\right)+\left(c^4+a^4\right)\ge\left(a^3b+ab^3\right)+\left(b^3c+bc^3\right)+\left(c^3a+ca^3\right)\)
Theo câu a. thì điều này đúng
Dấu "=" khi a=b=c
Đặt a/b=c/d=k
=>a=bk; c=dk
\(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{bk\cdot b}{dk\cdot d}=\dfrac{b^2}{d^2}\)
\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}=\dfrac{\left(bk+b\right)^2}{\left(dk+d\right)^2}=\dfrac{b^2}{d^2}\)
Do đó: \(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\)