Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(a^3_n-a_n=\left(a_n-1\right)a_n\left(a_n+1\right)⋮3\)
\(\Rightarrow\left(a^3_1+a^3_2+...+a^3_{2016}\right)-\left(a_1+a_2+...+a_{2016}\right)⋮3\)
Mà \(a_1+a_2+...+a_{2016}⋮3\)
\(\Rightarrow A=a_1^3+a_2^3+...+a^3_{2016}⋮3\)
=> ĐPCM
Ta có tính chất sau
\(\left(a_1^n+a_2^n+a_3^n+...+a_m^n\right)⋮\left(a_1+a_2+a_3+....+a_m\right)\)
Với \(\hept{\begin{cases}n\equiv1\left(mod2\right)\\a,m,n\in N\end{cases}}\)
(Tự chứng minh)
Áp dụng tính chất trên vào bài
Nhận thấy 3 là số lẻ
=> \(A=\left(a_1^3+a_2^3+....+a_{2016}^3\right)⋮\left(a_1+a_2+....+a_{2016}\right)\)
<=> \(A⋮3\)
Vậy ............
ta có 2013 : 3=> 2013^2014 : 3
=> a1+a2+....+a2013:3
Xét hiệu A= ( a1^3+a2^3+....a2013^3)-( a1+a2+...+a2013)
Dễ thấy a3-a= a(a-1)(a+1) là tích của 3 stn liên tiếp : 3
Suy Ra A : 3
Mà a1+a2+...+a2013 : 3 nên a1 ^3 + a2^3 +....+a3^2013 : 3
Lưu ý: dấu : là chia hết cho
Ta có : \(2013^{2015}+1^{2015}⋮\left(2013+1\right)=2014\)
\(2015^{2013}-1^{2013}⋮\left(2015-1\right)=2014\)
Do đó : \(\left(2013^{2015}+1^{2015}\right)+\left(2015^{2013}-1^{2013}\right)⋮2014\)
\(\Rightarrow2013^{2015}+1+2015^{2013}-1⋮2014\)
\(\Rightarrow2013^{2015}+2015^{2013}+\left(1-1\right)⋮2014\)
\(\Rightarrow2013^{2015}+2015^{2013}⋮2014\)
Vậy bài toán đã được chứng minh
Đặt \(A=a_1^3+a^3_2+...+a^3_{2013}\)
vì \(2013⋮3\)nên \(2013^{2014}⋮3\)hay \(M=a_1+a_2+a_3+...+a_{2013}⋮3\)
Xét \(A-M=(a^3_1-a_1)+\left(a_2^{3_{ }}-a_2\right)+...+\left(a_{2013}^3-a_{2013}\right)\)
Dễ thấy \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)là tích 3 số tự nhiên liên tiếp
do đó \(a^3-1⋮3\)
\(\Rightarrow A-M⋮3\). Mà \(M⋮3\)\(\Rightarrow A⋮3\left(dpcm\right)\)
Ta có:
\(\left(b_1+b_2+...+b_{2014}\right)^3=\left(b_1^3+b_2^3+...+b_{2014}^3\right)+3B⋮3\)
\(\Rightarrow A⋮3\)
@Nguyễn Việt Lâm