Question

[Lãnh Hạ Thiên Băng]

Cho ab - ba chia hết cho 11.CMR:

182(ab)²-81a³b-81ab³-10a⁴-10b⁴ chia hết cho 14641

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Đặt \(A=182\left(ab\right)^2-81a^3b-81ab^3-10a^4-10b^4\)

Ta có : \(\overline{ab}-\overline{ba}=\left(10a+b\right)-\left(10b-a\right)=9\left(a-b\right)\)

Theo giả thiết thì \(\left(\overline{ab}-\overline{ba}\right)⋮11\) , tức là \(9\left(a-b\right)⋮11\)

Mà (9;11) = 1 nên \(\left(a-b\right)⋮11\)(1)

Mặt khác , \(1\le a\le9\); \(0\le b\le9\)

Do vậy \(-8\le a-b\le9\)(2)

Từ (1) và (2) ta có \(a-b=0\Leftrightarrow a=b\)

Với a = b thay vào A được : \(182a^4-81a^4-81a^4-10a^4-10a^4=0\) luôn chia hết cho 14641

Vậy có đpcm.

Answer 2

[alibaba nguyễn]

Ta có 

\(\overline{ab}-\overline{ba}=10a+b-10b-a=9\left(a-b\right)\)

Chia hết cho 11 => (a - b) chia hết cho 11 (1)

Gọi UC(ab; ba) là d ta có

ab - ba = 11 chia hết cho d

Mà ab và ba là số có 2 chữ số và 11 là số nguyê tố nên d = 11

Từ đó ta có 

ab = 10a + b chia hết cho 11 (2)

ba = 10b + a chia hết cho 11 (3)

Ta có: 182(ab)²-81a³b-81ab³-10a⁴-10b⁴

= - (10a + b)(10b + a)(a - b)² (4)  ( cái này mình ghi nhâ tử luôn cho gọn nha)

Từ (1), (2), (3), (4) ta có 182(ab)²-81a³b-81ab³-10a⁴-10b⁴ chia hết cho 11⁴​ = 14641