DT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 9 2017
Lời giải:
a)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(4M=(3x^2+y^2)(3+1)\geq (3x+y)^2\)
\(\Leftrightarrow 4M\geq 1\Leftrightarrow M\geq \frac{1}{4}\)
Vậy \(M_{\min}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4}\)
b) Với mọi \(x,y\in\mathbb{R}\Rightarrow (3x-y)^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow 9x^2+y^2-6xy\geq 0\Leftrightarrow (3x+y)^2-12xy\geq 0\)
\(\Leftrightarrow xy\leq \frac{(3x+y)^2}{12}=\frac{1}{12}\)
Vậy \(K_{\max}=\frac{1}{12}\Leftrightarrow x=\frac{1}{6};y=\frac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 6 2020
\(3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2zx+z^2\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=2-\left(x-y\right)^2-\left(x-z\right)^2\le2\)
\(\Rightarrow-\sqrt{2}\le x+y+z\le\sqrt{2}\)
\(B_{min}=-\sqrt{2}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-z=0\\x+y+z=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z=-\frac{\sqrt{2}}{3}\)
\(B_{max}=\sqrt{2}\) khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}\)
KK
8 tháng 3 2017
2)
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy ta có
\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
Do \(x^2+y^2+z^2\le3\)
\(\Rightarrow3\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Rightarrow1\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow4\ge xy+yz+xz+3\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{4}\le\dfrac{9}{3+xy+xz+yz}\) ( 1 )
Ta có \(C=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow C=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\ge\dfrac{9}{3+xy+yz+xz}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 )
\(\Rightarrow C=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\ge\dfrac{9}{4}\)
Vậy \(C_{min}=\dfrac{9}{4}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)
HB
1
13 tháng 5 2020
Ta có: \(\left(x^2+y^2+2xy+2yz+2xz\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)=3\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2=3\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\le3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z
Do đó \(-\sqrt{3}\le x+y+z\le\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow-\sqrt{3}\le A\le\sqrt{3}\)
=> \(\hept{\begin{cases}Min_A=-\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{-\sqrt{3}}{3}\\Max_A=\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{cases}}\)
TN
0
29 tháng 5 2022
a: \(A=3\left(x^2-3x+\dfrac{5}{3}\right)\)
\(=3\left(x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4}-\dfrac{7}{12}\right)\)
\(=3\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{7}{4}\ge-\dfrac{7}{4}\)
Dấu '=' xảy ra khi x=3/2
b: \(B=\left(x-1\right)\left(3x+4\right)\)
\(=3x^2+4x-3x-4\)
\(=3x^2+x-4\)
\(=3\left(x^2+\dfrac{1}{3}x-\dfrac{4}{3}\right)\)
\(=3\left(x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{36}-\dfrac{49}{36}\right)\)
\(=3\left(x+\dfrac{1}{6}\right)^2-\dfrac{49}{12}\ge-\dfrac{49}{12}\)
Dấu '=' xảy ra khi x=-1/6
c: \(C=-\left(x^2+x+y^2-y-1\right)\)
\(=-\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}+y^2-y+\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}\right)\)
\(=-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2}\le\dfrac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra khi x=-1/2 và y=1/2
Ta có: \(y=1-3x\)
a/ \(M=3x^2+y^2=3x^2+\left(1-3x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow12x^2-6x+1=\left(12x^2-\frac{2.2.3x}{2}+\frac{3}{4}\right)+\frac{1}{4}\)
\(=\left(2\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)
Vậy GTNN là 0,25 đạt được khi x = 0,25
b/ \(N=xy=x\left(1-3x\right)=-3x^2+x\)
\(=\left(-3x^2+\frac{2.\sqrt{3}x}{2\sqrt{3}}-\frac{1}{12}\right)+\frac{1}{12}\)
\(=\frac{1}{12}-\left(\sqrt{3}x-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2\le\frac{1}{12}\)
Vậy max là \(\frac{1}{12}\) đạt được khi \(x=\frac{1}{6}\)