x+y+z=a
      x2+y2+z2=b
      
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

17 tháng 7 2023

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)=\left(x+y+z\right)^2+\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)=a^2+b\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz=\dfrac{a^2+b}{2}\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{c}\Rightarrow\dfrac{xy+yz+xz}{xyz}=\dfrac{1}{c}\)

\(\Rightarrow xyz=c\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow xyz=\dfrac{\left(a^2+b\right)c}{2}\)

\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)+3xyz\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+xz\right)\right)+3xyz\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=a\left(b-\dfrac{a^2+b}{2}\right)+3\dfrac{\left(a^2+b\right)c}{2}\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=a\dfrac{\left(b-a^2\right)}{2}+3\dfrac{\left(a^2+b\right)c}{2}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 2 2019

Lời giải:

Cách 1:

Áp dụng BĐT S.Vacxo ta có:

\(\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\geq \frac{9}{1+xy+1+yz+1+xz}=\frac{9}{3+xy+yz+xz}(1)\)

Theo BĐT Cauchy ta có bổ đề quen thuộc:

\(xy+yz+xz\leq x^2+y^2+z^2\leq 3(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{xz+1}\geq \frac{9}{3+xy+yz+xz}\geq \frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Cách 2:

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương:

\(\frac{1}{xy+1}+\frac{xy+1}{4}\geq 2.\sqrt{\frac{1}{xy+1}.\frac{xy+1}{4}}=1\)

\(\frac{1}{yz+1}+\frac{yz+1}{4}\geq 2.\sqrt{\frac{1}{yz+1}.\frac{yz+1}{4}}=1\)

\(\frac{1}{xz+1}+\frac{xz+1}{4}\geq 2.\sqrt{\frac{1}{xz+1}.\frac{xz+1}{4}}=1\)

Cộng tất cả các BĐT trên theo vế và rút gọn:

\(\Rightarrow \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{xz+1}\geq \frac{9-(xy+yz+xz)}{4}\geq \frac{9-3}{4}=\frac{3}{2}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{3}{2}\)

9 tháng 5 2018

\(H=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{3+xy+yz+xz}=\dfrac{9}{3+xy+yz+xz}\)

Mặt khác,theo AM-GM: \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+xy+yz+xz}\ge\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" khi: \(x=y=z=1\)

14 tháng 5 2018

b)\(N=\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{zx}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}\)

\(N=\dfrac{xyz}{x^3}+\dfrac{xyz}{y^3}+\dfrac{xyz}{z^3}\)

\(N=xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)\)

Ta cm đẳng thức sau:\(x^3+y^3+z^3=3xyz\Leftrightarrow x+y+z=0\)

ĐT\(\Leftrightarrow x^3+y^3-3xyz=-z^3\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-3xy=-z^3\)

\(\Leftrightarrow-zx^2+xyz-zy^2-3xyz=-z^3\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=z^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=z^2\)

\(\Leftrightarrow\left(-z\right)^2=z^2\)(luôn đúng)

Áp dụng\(\Rightarrow N=xyz.\dfrac{3}{xyz}=3\)

14 tháng 5 2018

a, (M-1)/70-71=m

m=(71^9+71^8....71+1)

71m=71^10+...71^2+71

70m=71^10-1

(M-1)/70=71^10+70

M-1=70(71^10+70)

M=70(71^10+70)-1

9 tháng 8 2017

1, Ta có: \(x+y=9\Rightarrow\left(x+y\right)^2=81\)

\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2=81\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=45\)

\(\Rightarrow x^2+y^2-2xy=9\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2=9\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-y=3\\x-y=-3\end{matrix}\right.\)

\(A=x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}A=3.63=189\\A=-3.63=-189\end{matrix}\right.\)

Vậy...

3 tháng 7 2017

bạn có thể cho mình lời giải đc k ?

27 tháng 4 2018

Áp dụng BĐT :

\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) ≥ 9

Trong đó : a = xy ; b = yz ; c = xz

⇒ ( xy + yz + xz )\(\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)\) ≥ 9 ( * )

Áp dụng BĐT cô - si :

x2 + y2 ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0) ( 1 )

y2 + z2 ≥ 2yz ( y > 0 ; z > 0 ) ( 2)

z2 + x2 ≥ 2xz ( z >0 ; x > 0) ( 3)

Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3) ⇒ x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + xz ( **)

Từ ( * ; **)

⇒(x2 + y2 + z2).A ≥ ( xy + yz + xz). A ≥ 9

⇒ 3A ≥ 9

⇒ A ≥ 3

⇒ AMIN = 3 ⇔ x = y = z

27 tháng 4 2018

thanks nha