Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Thay $n=3$ ta có: \(\left\{\begin{matrix} \frac{U_3-U_1}{3}=1\\ U_1-U_3=-4\end{matrix}\right.\) (vô lý)
Bạn xem lại đề.
Công sai d có thể xác định bằng công thức:
\(-4=U_1-U_3=U_1-(U_2+d)=U_1-(U_1+d+d)=-2d\)
\(\Rightarrow d=2\)
S= u1.u1 + u2.u2+...+un.un
S = u1.(u2 - d) + u2.(u3 - d)+...+un(un+1 - d)
S = u1.u2 + u2.u3 +...+un.un+1-d(u1+u2+...+un)
Đặt A = u2.u3 + u3.u4+...+un.un+1
3d.A = u2.u3.(u4-u1) + u3.u4.(u5-u2)+...+un.un+1.(un+2-un-1)
3d.A = u2.u3.u4 - u1.u2.u3 + u3.u4.u5 - u2.u3.u4+...+un.un+1.un+2 - un-1.un.un+1
3d.A = un.un+1.un+2 - u1.u2.u3
3d.A = (u1 + d.n - d)(u1 + d.n)(u1 + d.n + d) - u1.(u1+d).(u1+2.d)
A = [(u1 + d.n - d)(u1 + d.n)(u1 + d.n + d) - u1.(u1+d).(u1+2.d)]/(3.d)
S = A + u1.(u1 + d) + d[2.u1+(n-1).d].n/2
\(u_1>0;u_2>0\Rightarrow q>0\)
\(u_1u_5=25\Leftrightarrow u_1^2q^4=25\Rightarrow u_1q^2=5\) (1)
\(\Rightarrow u_3=5\) (do \(u_3=u_1q^2\))
\(\Rightarrow u_2+u_4=26\Leftrightarrow u_1q+u_1q^3=26\)
\(\Leftrightarrow u_1q\left(1+q^2\right)=26\) (2)
Chia vế cho vế của (2) cho (1):
\(\frac{1+q^2}{q}=\frac{26}{5}\Leftrightarrow5q^2-26q+5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}q=5\\q=\frac{1}{5}\end{matrix}\right.\)
- Với \(q=5\Rightarrow u_1=\frac{1}{5}\)
- Với \(q=\frac{1}{5}\Rightarrow u_1=125\)
Hình như: \(n^2u_n=\dfrac{2.2^2.3^2...n^2}{\left(2^2-1\right)\left(3^2-1\right)...\left(n^2-1\right)}\)
Dãy số đã cho hiển nhiên là dãy dương
\(u_3=2>1\Rightarrow\) dự đoán dãy trên là dãy tăng hay \(u_{n+1}>u_n\) \(\forall n\ge2\)
Với \(n=2\) ta có \(u_3>u_2\) (đúng)
Giả thiết cũng đúng với \(n=k\) hay \(u_{k+1}>u_k\)
Ta cần chứng minh \(u_{k+1}>u_{k+1}\)
Thật vậy, \(u_{k+2}=\sqrt{u_{k+1}}+\sqrt{u_k}>\sqrt{u_k}+\sqrt{u_{k-1}}=u_{k+1}\)
Mặt khác \(u_n=\sqrt{u_{n-1}}+\sqrt{u_{n-2}}< \sqrt{u_n}+\sqrt{u_n}=2\sqrt{u_n}\)
\(\Rightarrow u_n^2< 4u_n\Rightarrow u_n< 4\)
\(\Rightarrow\) Dãy số tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn
Gọi giới hạn của dãy số là \(a\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\left(u_{n-1}\right)=lim\left(u_{n+1}\right)=a\)
Từ biểu thức: \(u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n-1}}\)
Lấy giới hạn 2 vế: \(\Rightarrow a=\sqrt{a}+\sqrt{a}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\left(l\right)\\a=4\end{matrix}\right.\)
Vậy \(lim\left(u_n\right)=4\)
Đề bài sai.
Với \(\left[{}\begin{matrix}u_1>2+\sqrt{2}\\u_1< -\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) thì dãy không có giới hạn (tiến tới âm vô cực)
1. Áp dụng công thức tổng cấp số nhân:
\(S_n=u_1.\dfrac{q^n-1}{q-1}=2.\dfrac{2^n-1}{2-1}=2.\left(2^n-1\right)=2^{n+1}-2\)
2. \(\left\{{}\begin{matrix}u_2+u_5=12\\u_4+u_8=22\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(u_1+d\right)+\left(u_1+4d\right)=12\\\left(u_1+3d\right)+\left(u_1+7d\right)=22\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2u_1+5d=12\\2u_1+10d=22\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\d=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow u_n=u_1+\left(n-1\right)d=1+\left(n-1\right)2=2n-1\)
\(\Rightarrow S_n=\dfrac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\dfrac{n\left(1+2n-1\right)}{2}=n^2\)
3. \(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_2=4\\u_4+u_1=28\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_1q=4\\u_1q^3+u_1=28\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{q^3+1}{q+1}=\dfrac{28}{4}\Rightarrow q^2-q+1=7\)
\(\Rightarrow q^2-q-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}q=3\\q=-2\end{matrix}\right.\)