Question

[Nguyễn Phạm Thy Vân]

Cho M là điểm tùy ý nằm trong Δ ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trọng tâm của các Δ MBC, MCA, MAB.

Chứng minh rằng: ΔDEF ∼ ΔABC.

Answer 1

[Đào Thu Hiền]

Hình bạn tự vẽ nha, khi CM bạn nhắc đến đối tg hình học nào thì chỉ cần vẽ đến các đối tg đó thôi, vậy nhìn hình cho đỡ rối ^ ^

Gọi H là trung điểm của MA, K là trung điểm của MC

=>BH là trung tuyến ΔMAB; BK là trung tuyến ΔMBC

Lại có: D là trọng tâm ΔMBC => \(\frac{BD}{BK}=\frac{2}{3}\)

F là trọng tâm ΔMAB => \(\frac{BF}{BH}=\frac{2}{3}\)

Xét ΔBHK có \(\frac{BF}{BH}=\frac{BD}{BK}=\frac{2}{3}\left(cmt\right)\)=> DF//HK(đ/lí Ta-lét đảo)

=> \(\frac{DF}{HK}=\frac{BD}{BK}=\frac{BF}{BH}=\frac{2}{3}\) (hệ quả đ/lí Ta-lét)

Xét ΔMAC có đg TB HK => HK//AC; \(\frac{HK}{AC}=\frac{1}{2}\)

=> \(\frac{DF}{AC}=\frac{DF}{HK}.\frac{HK}{AC}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\)

CMTT => \(\frac{DE}{AB}=\frac{1}{3};\frac{EF}{BC}=\frac{1}{3}\)

Xét ΔDEF và ΔABC có \(\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{3}\) (cmt)

=> ΔDEF ∼ ΔABC