Question

[Lương Thế Vinh]

Cho hình vuông ABCD có AC và BD cắt nhau tại O.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD ; AN cắt DM tại E.Chứng minh rằng:
1)AN vuông góc với DM và OD²=DE.DM
2)Góc EBC bằng 2 lần góc ECD 
3.EM là tia phân giác của góc OEC

Answer 1

[Trần Tuấn Hoàng]

1) \(DN=\dfrac{1}{2}DC=\dfrac{1}{2}BC=CM\)

△ADN và △DCM có: \(\widehat{ADN}=\widehat{DCM}=90^0;AD=DC;DN=CM\)

\(\Rightarrow\)△ADN=△DCM (c-g-c).

\(\Rightarrow\widehat{AND}=\widehat{DMC}\)

\(\widehat{DEN}=180^0-\widehat{MDC}-\widehat{AND}=180^0-\widehat{MDC}-\widehat{DMC}=180^0-90^0=90^0\)

\(\Rightarrow\)AN⊥DM tại E.

△DEN và △DCM có: \(\widehat{DEN}=\widehat{DCM}=90^0;\widehat{MDC}\) là góc chung.

\(\Rightarrow\)△DEN∼△DCM (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{DE}{DC}=\dfrac{DN}{DM}\Rightarrow DC.DN=DE.DM\).

△DCB vuông cân tại C \(\Rightarrow DC=CB=BD\sqrt{2}\).

\(DC.DN=BD\sqrt{2}.\dfrac{BD\sqrt{2}}{2}=\dfrac{BD^2.2}{2}=BD^2\)

\(\Rightarrow DB^2=DE.DM\)

Answer 2

[Trần Tuấn Hoàng]

2) F là trung điểm AD, BF cắt AN tại G.

Tứ giác DFBM có: DF//BM, \(DF=BM=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow\)DFBM là hình bình hành \(\Rightarrow\)DM//BF mà AN⊥DM.

\(\Rightarrow\)BF⊥AN tại G.

△AED có: FG//DE, F là trung điểm AD.

\(\Rightarrow\)G là trung điểm AE.

△ABE có: BG vừa là đường cao vừa là trung tuyến.

\(\Rightarrow\)△ABE cân tại B\(\Rightarrow AB=BE=CB\Rightarrow\)△BCE cân tại B.

Hạ BH⊥CE (H thuộc CE) \(\Rightarrow\)BH là phân giác \(\widehat{CBE}\).

\(\widehat{EBC}=2\widehat{HBC}=2\left(90^0-\widehat{ECB}\right)=2\widehat{ECD}\)