Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
-OM cắt DC tại N'.
\(\dfrac{AM}{DN}=\dfrac{MB}{NC}=\dfrac{AM+MB}{DN+BC}=\dfrac{AB}{DC}\)
-Xét △ODN' có: AM//DN'.
\(\Rightarrow\dfrac{AM}{DN'}=\dfrac{OM}{MN'}\) (hệ quả định lí Ta-let) (1)
-Xét △OCN' có: BM//CN'.
\(\Rightarrow\dfrac{BM}{CN'}=\dfrac{OM}{MN'}\) (định lí Ta-let) (2)
-Từ (1) và (2) suy ra:
\(\dfrac{AM}{DN'}=\dfrac{BM}{CN'}=\dfrac{AM+BM}{CN'+DN'}=\dfrac{AB}{CD}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AM}{CN'}=\dfrac{BM}{DN'}=\dfrac{AM}{CN}=\dfrac{BM}{DN}\)
\(\Rightarrow CN=CN';DN=DN'\)
\(\Rightarrow N\equiv N'\)
-Vậy MN đi qua điểm O.
B C A D O M N E F T U V
Kẻ MT // BD, T \(\in\)AD
Gọi giao điểm của MT và AC là U, giao điểm của NT và BD là V
Xét \(\Delta ABD\)có : MT // BD \(\Rightarrow\frac{AM}{AB}=\frac{AT}{AD}\)( Định lí Ta-lét )
Mà \(\frac{AM}{AB}=\frac{CN}{CD}\)( gt ) \(\Rightarrow\frac{AT}{AD}=\frac{CN}{CD}\)
Áp dụng định lí Ta-lét đảo trong \(\Delta ACD\)có \(\frac{CN}{CD}=\frac{AT}{AD}\)( cmt ) \(\Rightarrow\)NT // AC
Áp dụng định lí Ta-lét trong các tam giác :
+) \(\Delta AOB\)có MU // BO ( MT // BD; U\(\in\)MT; O \(\in\)BD ) \(\Rightarrow\frac{MU}{BO}=\frac{AM}{AB}\)(1)
+) \(\Delta OCD\)có VN // OC ( NT // AC; V \(\in\)NT; O \(\in\)AC ) \(\Rightarrow\frac{VN}{OC}=\frac{VD}{OD}\)(2)
+) \(\Delta OAD\): \(\orbr{\begin{cases}UT//OD\Rightarrow\frac{UT}{OD}=\frac{AT}{ÀD}\Rightarrow\frac{UT}{OD}=\frac{AM}{AB}\left(3\right)\\VT//OA\Rightarrow\frac{VT}{OA}=\frac{VD}{OD}\left(4\right)\end{cases}}\)
+) \(\Delta MNT\): \(\orbr{\begin{cases}EU//NT\left(AC//NT;E,U\in AC\right)\Rightarrow\frac{MU}{UT}=\frac{ME}{EN}\left(5\right)\\FV//MT\left(BD//MT;F,V\in BD\right)\Rightarrow\frac{VN}{VT}=\frac{FN}{FM}\left(6\right)\end{cases}}\)
Từ (1) (3) \(\Rightarrow\frac{MU}{OB}=\frac{UT}{OD}\Rightarrow\frac{MU}{UT}=\frac{OB}{OD}\)
Từ (2) (4) \(\Rightarrow\frac{VN}{OC}=\frac{VT}{OA}\Rightarrow\frac{VN}{VT}=\frac{OC}{OA}\)
Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét trong \(\Delta OAD\)và \(\Delta OBC\)có BC // AD ( gt ) \(\Rightarrow\frac{OC}{OA}=\frac{OB}{OD}\)
\(\Rightarrow\frac{MU}{UT}=\frac{VN}{VT}\)kết hợp với điều (5) (6) \(\Rightarrow\frac{ME}{EN}=\frac{FN}{MF}\Rightarrow ME\cdot MF=FN\cdot EN\)
\(\Rightarrow ME\cdot\left(ME+EF\right)=FN\cdot\left(FN+EF\right)\Rightarrow ME^2+ME\cdot EF=FN^2+FN\cdot EF\)
\(\Rightarrow ME^2+ME\cdot EF-FN^2-FN\cdot EF=0\)\(\Rightarrow\left(ME-FN\right)\cdot\left(ME+FN\right)+EF\cdot\left(ME-FN\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(ME-FN\right)\cdot\left(ME+FN+EF\right)=0\)
Vì các cạnh ME, FN, EF luôn lớn hơn 0 \(\Rightarrow\)không có trường hợp ME + FN + EF = 0
\(\Rightarrow ME-FN=0\Leftrightarrow ME=FN\)
A B C D M N P Q O
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét,ta có :
\(\Delta AMO\)có NC // AM\(\Rightarrow\frac{NC}{MA}=\frac{ON}{OM}\left(1\right)\)
\(\Delta MBO\)có ND // MB\(\Rightarrow\frac{ND}{MB}=\frac{ON}{OM}\left(2\right)\)
\(\Delta ADB\)có OP // AB\(\Rightarrow\frac{OP}{AB}=\frac{OD}{DB}\left(3\right)\)
\(\Delta ACB\)có OQ // AB\(\Rightarrow\frac{OQ}{AB}=\frac{OC}{AC}\left(4\right)\)
\(\Delta ODC\)có AB // CD\(\Rightarrow\frac{OD}{DB}=\frac{OC}{AC}\left(5\right)\)
Từ (1) và (2),ta có\(\frac{NC}{MA}=\frac{ND}{MB}\Rightarrow\frac{NC}{ND}=\frac{MA}{MB}=k\Rightarrow\frac{ND}{NC}=\frac{1}{k}\)
Từ (3),(4) và (5),ta có\(\frac{OP}{AB}=\frac{OQ}{AB}\)=> OP = OQ => O là trung điểm PQ