Question

[nguyen duy vu]

cho hinh thang ABCD (AB song song CD) .O la giao diem duong cheo .Duong thang di qua O va song song voi day AB cat AD, BC tai M,N

a)CM :OM=ON

b)CM:1/AB +1/CD=2/MN

c)biet SABO=2014²,S_COD=2015²  

Tinh S_ABCD

Answer 1

[Trần Thị Loan]

A B C D O M N

a) Áp dụng Hệ quả Ta Let trong tam giác ADB có: OM // AB

=> \(\frac{OM}{AB}=\frac{OD}{DB}\)  (1)

Tương tự, trong tam giác CBA có: ON // AB => \(\frac{ON}{AB}=\frac{OC}{AC}\) (2)

Mặt khác, có AB // CD => \(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}\Rightarrow\frac{OA}{OC}+1=\frac{OB}{OD}+1\Leftrightarrow\frac{AC}{OC}=\frac{BD}{OD}\)

=> \(\frac{OC}{AC}=\frac{OD}{DB}\)  (3)

Từ (1)(2)(3) => \(\frac{OM}{AB}=\frac{ON}{AB}\) => OM = ON

b) điều phải chứng minh <=> \(\frac{MN}{AB}+\frac{MN}{CD}=2\)

theo câu a có MN = 2.ON = 2.OM

Xét VT = \(\frac{2.OM}{AB}+\frac{2.ON}{CD}=2.\left(\frac{OM}{AB}+\frac{ON}{CD}\right)\)

Mà \(\frac{OM}{AB}=\frac{OD}{DB}\)(Hệ quả ĐL ta let trong tam giác ADB)

\(\frac{ON}{CD}=\frac{OB}{DB}\) (Hệ quả ĐL ta let trong tam giác CDB)

=> VT = \(2.\left(\frac{OD}{DB}+\frac{OB}{DB}\right)=2.\frac{OD+OB}{DB}=2.\frac{DB}{DB}=2\) = VP

=> ĐPCM

c) Vì AB // CD => tam giác AOB đồng dạng với tam giác COD , tỉ số đồng dạng \(\frac{OB}{OD}\)

=> \(\frac{S_{AOB}}{S_{COD}}=\left(\frac{OB}{OD}\right)^2\Rightarrow\left(\frac{OB}{OD}\right)^2=\frac{2014^2}{2015^2}\Rightarrow\frac{OB}{OD}=\frac{2014}{2015}\)

+) Xét tam giác AOB và AOD có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống BD

=> \(\frac{S_{AOB}}{S_{AOD}}=\frac{OB}{OD}=\frac{2014}{2015}\Rightarrow S_{AOD}=\frac{2015}{2014}.S_{AOB}=\frac{2015}{2014}.2014^2=2014.2015\)

Tương tự, \(\frac{S_{BOC}}{S_{COD}}=\frac{OB}{OD}=\frac{2014}{2015}\Rightarrow S_{BOC}=\frac{2014}{2015}.S_{COD}=\frac{2014}{2015}.2015^2=2014.2015\)

Vậy \(S_{ABCD=2014^2+2014.2015+2014.2015+2015^2=\left(2014+2015\right)^2=4029^2}\)