Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\)
\(\Rightarrow a^{101}-a^{100}+b^{101}-b^{100}=0\)
\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)=0\left(1\right)\)
- Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều dương nên:
\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)>0\) không đúng với (1)
- Nếu a và b cùng nhỏ hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều âm nên:
\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)< 0\) không đúng với (1)
- Nếu a và b có 1 số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge1;b\le1\)
Ta có:
\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)=b^{100}\left(b-1\right)\left(2\right)\)
Lại có:
\(a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)
\(\Rightarrow a^{102}-a^{101}+b^{102}-b^{101}=0\)
\(\Rightarrow a^{101}\left(a-1\right)+b^{101}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)+b\cdot b^{100}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)-b\cdot b^{100}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)-b\cdot a^{100}\left(a-1\right)=0\)(theo (2))
\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)\left(a-b\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a-1=0\\a-b=0\end{cases}}\)(do a>0)
\(\Rightarrow a=b=1\)\(\Rightarrow P=1^{2007}+1^{2007}=2\)
<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>a≥1;b≤1
Ta có:
a100(a−1)+b100(b−1)=0
⇒a100(a−1)=b100(b−1)(2)
Lại có:
a101+b101=a102+b102
⇒a102−a101+b102−b101=0
<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>⇒a100(a−1)+b100(b−1)=0(1)
- Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều dương nên:
a100(a−1)+b100(b−1)<0 không đúng với (1)
- Nếu a và b có 1 số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1
Không mất tính tổng quát, giả sử
<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>⇒a100(a−1)=b100(b−1)(2)
Lại có:
a101+b101=a102+b102
⇒a102−a101+b102−b101=0
<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>⇒a100(a−1)=b
Áp dung BĐT co- si, ta có:
\(y+z\le\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}\)
D đó: \(\frac{x^2}{y+z}\ge\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}\)
tương tự: \(\frac{y^2}{z+x}\ge\frac{y^2}{\sqrt{2\left(x^2+z^2\right)}},\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{z^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)
\(\Rightarrow T\ge\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{y^2}{\sqrt{2\left(x^2+z^2\right)}}+\frac{z^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)
Đặt : \(\sqrt{x^2+y^2}=a;\sqrt{y^2+z^2}=b;\sqrt{x^2+z^2}=c\left(a,b,c>0\right)\)
Khi đó: \(T\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{b}+\frac{a^2+b^2-c^2}{c}+\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow T\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\left(\frac{\left(a+c\right)^2}{2b}-b\right)+\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2c}-c\right)+\left(\frac{\left(b+c\right)^2}{2a}-a\right)\right)\)
\(\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(2\left(a+c\right)-3b+2\left(a+b\right)-3c+2\left(b+c\right)-3a\right)\)
\(\Rightarrow T\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2017}{2}}\)
1) \(E^2=\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2}=\frac{2\left(x^2+y^2\right)-4xy}{2\left(x^2+y^2\right)+4xy}=\frac{5xy-4xy}{5xy+4xy}=\frac{xy}{9xy}=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow E=\frac{1}{3}\)(vì x>y>0)
2) Ta có \(x+y+z=0\Rightarrow x+y=1-z\)
Lại có : \(1=\left(x+y+z\right)^2=1+2\left(xy+yz+xz\right)\Rightarrow2xy+2yz+2xz=0\Rightarrow2xy=-2z\left(x+y\right)=-2z\left(1-z\right)\)Thay vào \(x^2+y^2+z^2=1\) được :
\(\left(x+y\right)^2-2xy+z^2=1\)\(\Leftrightarrow\left(1-z\right)^2-2z\left(1-z\right)+z^2=1\Leftrightarrow4z^2-4z=0\Leftrightarrow z\left(z-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}z=0\\z=1\end{cases}}\)
Với z = 0 => x + y = 1 và x2+y2 = 1 => x = 0 , y = 1 hoặc x = 1 , y =0
=> A = 1
Tương tự với z = 1 , ta cũng có x = 0 , y = 0 => A = 1
Đặt M=a2007+b2007
Do \(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)(1)
\(\Rightarrow\left(a^{101}+b^{101}\right)^2=\left(a^{100}+b^{100}\right)\left(a^{102}+b^{102}\right)\)
\(\Leftrightarrow a^{202}+b^{202}+2.a^{101}.b^{101}=a^{202}+a^{100}.b^{102}+a^{102}.b^{100}+b^{202}\)
\(\Leftrightarrow2.a^{101}.b^{101}=a^{100}.b^{100}\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^{100}.b^{100}\left(a^2-2ab+b^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^{100}.b^{100}\left(a-b\right)^2=0\)
Do a,b > 0 => (a-b)2=0 <=> a=b
Thay a=b vào (1) ta được
\(2.a^{100}=2.a^{101}=2.a^{102}\)
\(\Leftrightarrow a^{100}=a^{101}\)
\(\Leftrightarrow a^{100}\left(a-1\right)=0\)
Do a>0 nên a=1 =>b=1
Vậy M=12017+12017=2
cm: ta có BĐT:\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)(khá quen thuộc)
\(\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=1\)(1)
\(M=x^2y^2\left(x^2+y^2\right)=\frac{1}{2}xy.2xy.\left(x^2+y^2\right)\)
áp dụng BĐT trên theo chiều ngược lại:(x,y dương)
\(2xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{\left(x^2+2xy+y^2\right)^2}{4}=\frac{\left(x+y\right)^4}{4}=4\)
do đó \(M\le\frac{1}{2}xy.4=2xy\)
mà \(xy\le1\Rightarrow M\le2\)
dấu = xảy ra khi x=y=1