K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 6 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z\ge1\)
\(P=\sqrt{x^2+2y^2}+\sqrt{y^2+2z^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{\frac{\left(x+2y\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(y+2z\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(z+2x\right)^2}{3}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(3x+3y+3z\right)\ge\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) hay \(a=b=c=3\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 6 2020
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Phạm Vũ Trí Dũng - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
VD
0
MM
1
29 tháng 5 2018
a + b + 2a2 + 2b2 ≥ \(2ab+2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)
⇔ a + b + 2a2 + 2b2 - \(2ab-2a\sqrt{b}-2b\sqrt{a}\) ≥ 0
⇔ a2 - 2ab + b2 + a2 - 2a\(\sqrt{b}+b+b^2-2b\sqrt{a}+a\) ≥ 0
⇔ ( a - b)2 + ( a - \(\sqrt{b}\) )2 + ( b - \(\sqrt{a}\))2 ≥ 0 ( Luôn đúng )
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 4 2019
1.
\(P=\frac{a^4}{abc}+\frac{b^4}{abc}+\frac{c^4}{abc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3abc}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}{3abc\left(a+b+c\right)}\)
\(P\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right).3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}}{3abc\left(a+b+c\right)}=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
2.
\(P=\sum\frac{a^2}{ab+2ac+3ad}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4.\frac{3}{8}\left(a+b+c+d\right)^2}=\frac{2}{3}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=d\)
2 tháng 5 2020
\(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}\ge\sqrt{3}\left(1\right)\)
Ta có ab+bc+ca=abc nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}}+\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{2}{c^2}}+\sqrt{\frac{1}{c^2}+\frac{2}{a^2}}\ge\sqrt{3}\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, với các Vecto
\(\overrightarrow{u}=\left(\frac{1}{a};\frac{\sqrt{2}}{b}\right);\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}}\)
\(\overrightarrow{v}=\left(\frac{1}{b};\frac{\sqrt{2}}{c}\right)\Rightarrow\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{2}{c^2}}\)
\(\overrightarrow{w}=\left(\frac{1}{c};\frac{\sqrt{2}}{a}\right)\Rightarrow\left|\overrightarrow{w}\right|=\sqrt{\frac{1}{c^2}+\frac{2}{a^2}}\)
Ta có \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c};2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right)=\left(1;\sqrt{2}\right)\)
=> \(\left|\overrightarrow{u}\right|+\left|\overrightarrow{v}\right|+\left|\overrightarrow{w}\right|=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}\)
Mặt khác \(\left|\overrightarrow{u}\right|+\left|\overrightarrow{v}\right|+\left|\overrightarrow{w}\right|\ge\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right|\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\ge\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
27 tháng 8 2017
<=>\(a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\)>=0
<=>\(\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\)>=0
<=>\(\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\)>=0
Vì \(\left(a-b\right)^2\)>=0
<=>\(\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\)>=0 (đpcm)
TA
27 tháng 8 2017
Vì \(a,b\ge0\)nên
+ \(a+b\ge0\)(1)
+ \(\left(a-b\right)^2\ge0\)(2)
Nhân vế với vế của 1 và 2 , ta được :
\(\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab-ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab.\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)
Theo bài ra , ta có :
\(\left(a+b\right)^2\ge2\sqrt{a^2b^2}-ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge2ab-ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge2ab-ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge-ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2+a^2+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+a^2+b^2\ge0\)(Luôn đúng)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0