Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) áp dụng định lí ta lét ta có : \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) \(\Rightarrow\left|\overrightarrow{MN}\right|=\left|\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right|=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}a\)
b) các vectơ đối của \(\overrightarrow{AM}\) là : \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{BM}\)
c) ta có : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\) \(\Rightarrow\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD\)
ta có : \(AD=2AE\) (với \(E\) là giao điểm \(AD\) và \(BC\) )
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2AE=2\left(AB^2-BE^2\right)=2\left(a^2-\left(\dfrac{1}{2}a\right)^2\right)=\dfrac{3}{2}a^2\)d) ta có : \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\) \(\Rightarrow\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AI}\right|=\left|\overrightarrow{IB}\right|=IB\)
câu này bn xem lại đề nha
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\)
\(=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)
\(=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)
\(MA^2+MB^2=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)\)
\(=\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MI.}\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MI.}\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IB}\)
\(=2MI^2+IA^2+IB^2+2\overrightarrow{MI}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)\)
\(=2MI^2+IA^2+IB^2\)
\(=2MI^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=a^2\)
\(\Leftrightarrow MI^2=\frac{a^2}{4}\)
Suy ra \(M\)thuộc đường tròn tâm \(I\)bán kính \(\frac{a}{2}\).
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\((a^2+2c^2)(1+2)\geq (a+2c)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{a^2+2c^2}\geq \frac{a+2c}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\geq \frac{a+2c}{\sqrt{3}ac}=\frac{ab+2bc}{\sqrt{3}abc}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\left\{\begin{matrix} \frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\geq \frac{ac+2ab}{\sqrt{3}abc}\\ \frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\geq \frac{bc+2ac}{\sqrt{3}abc}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế các BĐT trên thu được:
\(\text{VT}\geq \frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{ab+2bc+ac+2ab+bc+2ac}{abc}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{3(ab+bc+ac)}{abc}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{3abc}{abc}=\sqrt{3}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=3$
Bài 2: Bài này sử dụng pp xác định điểm rơi thôi.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(24a^2+24.(\frac{31}{261})^2\geq 2\sqrt{24^2.(\frac{31}{261})^2a^2}=\frac{496}{87}a\)
\(b^2+(\frac{248}{87})^2\geq 2\sqrt{(\frac{248}{87})^2.b^2}=\frac{496}{87}b\)
\(93c^2+93.(\frac{8}{261})^2\geq 2\sqrt{93^2.(\frac{8}{261})^2c^2}=\frac{496}{87}c\)
Cộng theo vế:
\(B+\frac{248}{29}\geq \frac{496}{87}(a+b+c)=\frac{496}{87}.3=\frac{496}{29}\)
\(\Rightarrow B\geq \frac{496}{29}-\frac{248}{29}=\frac{248}{29}\)
Vậy \(B_{\min}=\frac{248}{29}\). Dấu bằng xảy ra khi: \((a,b,c)=(\frac{31}{261}; \frac{248}{87}; \frac{8}{261})\)
Câu 1:
a: =x^2+6x+9+4
=(x+3)^2+4>0
b: \(=x^2-4x+4+x^2+4xy+4y^2+9=\left(x-2\right)^2+\left(x+2y\right)^2+9>=9\)
Dấu = xảy ra khi x=2 và y=-x/2=-2/2=-1
a: =>vecto BM+vecto MA=vecto BA
=>vecto BA=vecto BA(Luôn đúng)
b: =>vecto BA=vecto AB(loại)
c: =>vecto BA+vecto MC=vecto BA
=>vecto MC=vecto 0
=>M trùng với C
\(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{BH}=x\overrightarrow{BC}\rightarrow\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AH}=x\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\rightarrow\overrightarrow{AH}=x\overrightarrow{AC}+\left(1-x\right)\overrightarrow{AB}\)
Để A,I,H thẳng hàng thì
\(\overrightarrow{AI}=k.\overrightarrow{AH}\)
\(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=k\left(1-x\right)\overrightarrow{AB}+kx\overrightarrow{AC}\)
Hay \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{3}=k\left(1-x\right)\\\dfrac{1}{3}=kx\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=\dfrac{2}{3}\\x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
vậy x=1/2 thì thoả mãn