K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

24 tháng 2 2017

a=b=c=1 sai

24 tháng 2 2017

Xem lại cái đề: 

21 tháng 8 2017

Áp dụng BĐT Mincopski ta có:

\(VT=\sqrt{a^2+\left(1-b\right)^2}+\sqrt{b^2+\left(1-c\right)^2}+\sqrt{c^2+\left(1-b\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(3-a-b-c\right)^2}\)

Đặt \(a+b+c=x>0\) thì ta có:

\(\ge\sqrt{x^2+\left(3-x\right)^2}=\sqrt{2x^2-6x+9}\)

\(=\sqrt{2\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{2}}\ge\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

11 tháng 5 2017

Theo BĐT AM-GM ta có:

\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)+\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2\left(1\right)\)

Do 2 BĐT trên cùng có dấu "=" khi \(a=b=c\)

Dễ dàng theo Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\left(2\right)\). Giờ cần c/m

\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)+\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

Nên cũng chỉ cần chỉ ra

\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\) (cmt)

\(\Rightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^2\)\(\ge\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

Dễ thấy \(a+b+c\ne0\) suy ra \(a+b+c\ge\)\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

BĐT cuối đúng theo AM-GM (cmt) \((3)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\) ta có ĐPCM

P/s:bài này liếc phát ra luôn mà quanh đi quẩn lại chỉ mấy BĐT cơ bản :D

11 tháng 5 2017

C/m lại phần đầu

Cần c/m \((a^2+b^2+c^2)(ab+ac+bc)+\sum_{cyc}(a^2-b^2)^2\geq(a^2+b^2+c^2)^2\)

\(\Leftrightarrow \sum_{cyc}(a^4+a^3b+a^3c-4a^2b^2+a^2bc)\geq0\)

\(\Leftrightarrow \sum_{cyc}(a^4-a^3b-a^3c+a^2bc)+2\sum_{cyc}ab(a-b)^2\geq0\)

Đúng theo Schur