Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo e nghĩ là đề phải như này cơ ạ :
\(\frac{a}{\sqrt{b+c+2a}}+\frac{b}{\sqrt{c+a+2b}}+\frac{c}{\sqrt{a+b+2c}}\le\frac{3}{2}\)
Biến đổi và sử dụng Cô - si là sẽ ra :
Ta có : \(\frac{a}{\sqrt{b+c+2a}}+\frac{b}{\sqrt{c+a+2b}}+\frac{c}{\sqrt{a+b+2c}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(c+b\right)+\left(a+b\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{a.a}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{b.b}{\left(b+a\right)+\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{c.c}{\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Đề không sai đâu:P
\(VT=\Sigma_{cyc}2\sqrt{\frac{1}{4}.\frac{a}{b+c+2a}}\le\Sigma_{cyc}\left[\frac{1}{4}+\frac{a}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\right]\)
\(\le\Sigma_{cyc}\left[\frac{1}{4}+\frac{a}{4\left(a+b\right)}+\frac{a}{4\left(a+c\right)}\right]=\frac{3}{2}\)
Tham khảo
Câu hỏi của Châu Trần - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Bunhiacopxkhi \(\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)}\ge a+b+c\)
Ta có:\(A=\frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a+b}}\le\frac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\)\(\Rightarrow\sqrt{3}A=\frac{\sqrt{3a}\sqrt{a+ab+ac}+\sqrt{3b}\sqrt{b+bc+ba}+\sqrt{3c}\sqrt{c+ca+cb}}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}A\le\frac{4a+ab+ac+4b+bc+ba+4c+ca+cb}{a+b+c}=\frac{4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}A\le\frac{2\left(a+b+c\right)+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{a+b+c}=\frac{6+a+b+c}{3}\le\frac{9}{3}=3\)
\(\Rightarrow A\le\sqrt{3}\)