Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tham khảo
Câu hỏi của Châu Trần - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Trước khi đọc lời giải hãy thăm nhà em trước nhé ! See method from solution! Cảm ơn mn!
Ok, giờ chú ý:
\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\)
\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{ab}{ab.ca+abc+ab}\)
\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}=1\) với abc = 1.
Như vậy: \(VT=\sqrt{\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}\right)^2}\le\sqrt{3\left(\Sigma\frac{1}{\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+1}\right)}\)
\(\le\sqrt{\frac{3}{16}\left[\Sigma\left(\frac{9}{ab+a+1}+1\right)\right]}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
Bunhiacopxkhi \(\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)}\ge a+b+c\)
Ta có:\(A=\frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a+b}}\le\frac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\)\(\Rightarrow\sqrt{3}A=\frac{\sqrt{3a}\sqrt{a+ab+ac}+\sqrt{3b}\sqrt{b+bc+ba}+\sqrt{3c}\sqrt{c+ca+cb}}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}A\le\frac{4a+ab+ac+4b+bc+ba+4c+ca+cb}{a+b+c}=\frac{4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}A\le\frac{2\left(a+b+c\right)+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{a+b+c}=\frac{6+a+b+c}{3}\le\frac{9}{3}=3\)
\(\Rightarrow A\le\sqrt{3}\)